第6章 第5节 空间中的垂直关系-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关46　空间中的垂直关系 学生用书　P343 [基础训练组] 1．(2024·南阳、信阳等六市模拟)设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是(　　) A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β 解析：D　[若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，选项A不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，又∵c⊂α，∴α⊥β，选项B不正确；若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，选项C不正确；若m⊥α，m∥n，n⊥β，∴α∥β，选项D正确．] 2．(2024·兰州市诊断)设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是(　　) A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α 解析：D　[A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β.] 3．(2024·唐山模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有(　　 ) A．AG⊥平面EFH　　 B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 解析：B　[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H， ∴AH⊥平面EFH，B正确． ∵过A只有一条直线与平面EFH垂直， ∴A不正确． ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G， ∴EF⊥平面HAG， 又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确． 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．] 4．(2024·衡水市调研)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析：D　[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确； 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE. 因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．] 5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷，9)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 解析：ABD　[如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1＝O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO＝＝，故∠C1BO＝30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故选项D正确．] 6．(多选)(2024·广州市调研)如图，已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，AF⊥平面ABCD且AF＝3，点E为线段DC(除端点外)上一点，沿直线AE将△DAE向上翻折成△D′AE，M为BD′的中点，则下列说法正确的有(　　) A．三棱锥A－BCF的体积为 B．当点E固定在线段DC上某位置时，D′在某圆上运动 C．当点E在线段DC上运动时，D′在某球面上运动 D．当点E在线段DC上运动时，三棱锥M－BCF体积的最小值为 解析：BCD　[A选项，由题意可得 VA－BCF＝VF－ABC＝×××1×3＝，故A错误．B选项，当固定点E时，由DA⊥DE，知D′A⊥D′E，故点D′在以AE为直径的圆上运动，故B正确．C选项，当点E在线段DC上运动时，AD′＝AD＝1保持不变，即D′的轨迹是以A为球心，半径为1的球面的一部分，故C正确．D选项，因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AC，AF⊥BC，所以BF2＝AF2＋AB2＝12，易得AC＝2，所以CF2＝AF2＋AC2＝13，又BC＝AD＝1，所以BC2＋BF2＝CF2，所以BC⊥BF，所以S△BCF＝BC×BF＝×1×＝(为定值)，所以求三棱锥M－BCF体积的最小值即求点M到平面BCF距离的最小值d1，即求点D′到平面BCF距离的最小值d，且d1＝d，如图，过A作BF的垂线，垂足为H，因为AF⊥BC，BC⊥BF，AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，所以BC⊥平面ABF，又AH⊂平面ABF，所以BC⊥AH，又BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面BCF，所以AH⊥平面BCF，易得AH＝.因为D′在以A为球心，半径为1的球面上运动，所以点D′到平面BCF距离的最小值d＝AH－1＝－1＝，所以d1＝d＝，所以三棱锥M－BCF体积的最小值Vmin＝S△BCF×d1＝，故D正确．] 7．设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________(填序号)． 解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确． 答案：①③④⇒②或②③④⇒① 8．(2024·洛阳市模拟)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：由定理可知，BD⊥PC.所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(答案不唯一) 9．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________． 解析：过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，PO⊥平面ABC于O. 连OD，OE，∵PD＝PE＝，PC＝2，∴CD＝CE＝1. 由题意，四边形ODCE为圆内接四边形，又∠ACB＝90°， ∴四边形ODCE为正方形， ∴OD＝1， ∴PO＝＝＝. 即点P到平面ABC的距离为. 答案： 10．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． (1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求点C到平面C1DE的距离． 解： (1)连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C，又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D. 由题设知A1B1綊CD，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE. (2)过C作C1E的垂线，垂足为H， 由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH， 从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离． 由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，故CH＝，从而点C到平面C1DE的距离为. [能力提升组] 11．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 解析：D　[如图，B1D与平面ABCD所成的角即∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成的角即∠DB1A， 则∠B1DB＝∠DB1A＝30°，设B1D＝2，则AD＝B1B＝1，由长方体对角线长公式l2＝a2＋b2＋c2，得AB＝，从而AB1＝，AB＝AD，AB与平面AB1C1D所成的∠B1AB的正弦值为，AC＝＞＝CB1，B1D与平面BB1C1C所成的角∠DB1C的正弦值为，即∠DB1C＝45°.] 12．(2022·浙江高考，8)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F­BC­A的平面角为γ，则(　　) A．α≤β≤γ B．β≤α≤γ C．β≤γ≤α D．α≤γ≤β 解析：A　[作直线FG⊥AC于点G，连接EG(如图1)，因为FG⊥平面ABC，根据线面垂直的性质定理，得FG⊥EG，因此α＝∠EFG，β＝∠FEG. tan α＝＝≤1，tan β＝＝≥1，易知AC≥EG，因此得到β≥α， 作FH∥B1C1交A1B1于点H，连接BH，CF，作FM⊥BC于M，连接GM(如图2)，得到γ＝∠FMG， 因此，tan γ＝＝，由于EG≥MG，可得β≤γ.综上，α≤β≤γ.] 13．(2024·泉州市模拟)如图，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)． ①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2. 解析：长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则①由于(a)2＋(a)2＝4a2，∴该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，正确；②∵AP⊥BP，AP⊥CP，∴AP⊥平面BCD，∵AP⊂平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正确；③与②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正确；④该多面体外接球的半径为a，表面积为5πa2，正确． 答案：①②③④ 14．(2024·九江模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，AB＝，AD＝2，E为BC中点，AE⊥PB. (1)求证：AE⊥平面PBD； (2)若BD⊥平面PAE，PA＝2，求四棱锥P－ABCD的体积． 解：(1)设AE与BD的交点为M， ∵tan ∠MEB＝＝，tan ∠MBE＝＝＝， ∴tan ∠MEB·tan ∠MBE＝1， ∴在△BME中，∠MBE＋∠MEB＝90°， ∴∠BME＝90°，即AE⊥BD. 又AE⊥PB，BD∩PB＝B，BD⊂平面PBD， PB⊂平面PBD， ∴AE⊥平面PBD. (2)连接PM， ∵BD⊥平面PAE，PM⊂平面PAE， ∴BD⊥PM， 又∵AE⊥平面PBD，PM⊂平面PBD， ∴AE⊥PM， 又∵AE∩BD＝M，∴PM⊥平面ABCD， 又AM⊂平面ABCD，∴PM⊥AM， 在Rt△ABE中，AE⊥BM，AB＝，BE＝1， ∴AM＝＝， ∴PM＝＝， ∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝ S矩形ABCD·PM＝×2××＝. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$