第6章 第2节 空间几何体的表面积与体积-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关43　空间几何体的表面积与体积 学生用书　P337 [基础训练组] 1. (2024·安丘市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝(　　) A．2　　　B.　　C．1　　　D. 解析：A　[由球的半径为R，得半球表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为πR2， ∴圆柱的侧面积为πR2. 设圆柱的高为h，则2πR·h＝πR2，即h＝R， ∴V1＝πR2·R＝πR3，V2＝πR3， ∴＝＝2.] 2．(2024·黄山市模拟)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为(　　) A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.2 解析：A　[∵圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，∴×(2πr)2×h＝πr2×h，解得π＝3.] 3．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：B　[当三棱锥D－ABC体积最大时，点D到平面ABC的距离最大，设△ABC的边长为a，由已知，a＝6，设△ABC的中心为点E，则AE＝BE＝CE＝2，设球心为点O，则r＝OA＝OB＝OC＝4，则OE＝＝2，故D到平面ABC的距离最大值为OE＋r＝2＋4＝6.则VD－ABC＝9×6×＝18.] 4．(2024·齐齐哈尔模拟)已知二面角α－l－β，球O与两个半平面α，β分别相切于A，B两点，且球心O到l的距离为d，若d＝AB＝4，则球的表面积为(　　) A．38π B．40π C．32π D．36π 解析：C　[根据题意得到OA⊥α，OB⊥β，设过O点作垂直于交线l的直线交于点C，连接AC、BC，则O、A、B、C四点共圆，因为d＝AB＝4，所以四边形OACB为正方形，所以其边长为2，即球的半径R＝2，所以其表面积为4πR2＝32π.] 5．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4，则这个圆锥的体积为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[作出该圆锥的侧面展开图， 如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4，由余弦定理可得cos∠P′OP＝＝－，∴∠P′OP＝. 设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则有2πr＝×4，∴r＝，h＝＝，∴圆锥的体积V＝πr2h＝.] 6．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A．π　　　B.π　　 C．3π　　 D．3π 解析：B　[ 在△AOB中，∠AOB＝，而OA＝OB＝，取AB中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO＝，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝， 所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.] 7．(2023·全国甲卷)在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：C　[ 连接AC，BD交于O，连接PO，则O为AC，BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB＝4，所以AC＝BD＝4，则DO＝CO＝2，又PC＝PD＝3，PO＝OP，所以△PDO≌△PCO，则∠PDO＝∠PCO，又PC＝PD＝3，AC＝BD＝4，所以△PDB≌△PCA，则PA＝PB，在△PAC中，PC＝3，AC＝4，∠PCA＝45°， 则由余弦定理可得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos∠PCA＝32＋9－2×4×3×＝17， PA＝，则PB＝， 在△PBC中，PC＝3，PB＝，BC＝4， 所以cos∠PCB＝＝ ＝，又0＜∠PCB＜π， 所以sin∠PCB＝＝， 所以△PBC的面积为S＝PC·BCsin∠PCB ＝×3×4×＝4.] 8．(2024·福州3月质检)如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10 cm，高为20 cm，则这个茶叶盒的表面积约为______cm2.(精确到0.1，≈1.732) 解析：边长为10 cm的正六边形的面积为6××10×10×sin 60°＝150cm2， 所以表面积为2×150＋6×10×20＝1 200＋300＝1 200＋300×1.732＝1 719.6 cm2. 答案：1 719.6 9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P－BCD的体积的最大值是________． 解析：设PD＝DA＝x， 在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， ∴AC＝ ＝＝2， ∴CD＝2－x，且∠ACB＝(180°－120°)＝30°， ∴S△BCD＝BC·DC·sin∠ACB ＝×2×(2－x)×＝(2－x)． 要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.则V四面体P－BCD＝×(2－x)x＝[－(x－)2＋3]，由于0＜x＜2， 故当x＝时，V四面体P－BCD取最大值为×3＝. 答案： 10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)证明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥E­ACD的侧面积． 解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 而BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BED， 所以AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED. (2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x. 由已知得，三棱锥E－ACD的体积 V三棱锥E－ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝， 故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2. [能力提升组] 11．(2023·天津卷)在三棱锥P­ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P­AMN和三棱锥P­ABC的体积之比为(　　) A. B． C. D． 解析：B　[ 如图，分别过M，C作MM′⊥PA，CC′⊥PA，垂足分别为M′，C′.过B作BB′⊥平面PAC，垂足为B′，连接PB′，过N作NN′⊥PB′，垂足为N′. 因为BB′⊥平面PAC，BB′⊂平面PBB′， 所以平面PBB′⊥平面PAC. 又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′，NN′⊥PB′，NN′⊂平面PBB′，所以NN′⊥平面PAC，且BB′∥NN′. 在△PCC′中，因为MM′⊥PA，CC′⊥PA， 所以MM′∥CC′，所以＝＝， 在△PBB′中，因为BB′∥NN′，所以＝＝， 所以＝＝ ＝＝.] 12．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P­AC­O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 解析：AC　[ 如图，由∠APB＝120°，AP＝2可知，底面直径AB＝2，高PO＝1，故该圆锥的体积为π，故A正确；该圆锥的侧面积为2π，故B错误；连接CB，取AC中点为Q，连接QO，PQ，易证二面角P­AC­O的平面角为∠PQO＝45°，所以QO＝PO＝1，PQ＝，所以BC＝2，所以AC＝2，故C正确；S△PAC＝AC·PQ＝2，故D错误．] 13．(2024·广州市调研)已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，O1为面A1B1C1D1的中心，则O1到平面B1EDF的距离为________，四棱锥C1－B1EDF的体积为________． 解析：如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1H⊥B1D于点H. 因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，EF⊂平面B1EDF， 所以A1C1∥平面B1EDF. 所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离． 易知平面B1D1D⊥平面B1EDF， 又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D， 所以O1H⊥平面B1EDF， 所以O1H等于四棱锥C1－B1EDF的高． 因为△B1O1H∽△B1DD1， 所以O1H＝＝a. EF·B1D·O1H＝×a·a·a＝a3. 答案：a　a3 14．(2024·贵阳市质检)如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝. (1)求证：DE⊥平面ACD； (2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值． 解：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形， ∴CD∥BE，BC∥DE. ∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴DC⊥BC. ∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C， ∴BC⊥平面ADC. ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC. (2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝. 在Rt△ABC中，∵AC＝x， ∴BC＝(0<x<2)， ∴S△ABC＝AC·BC＝x·， ∴V(x)＝V三棱锥E－ABC＝x·(0<x<2)． ∵x2(4－x2)≤2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时取等号，∴当x＝时，体积有最大值. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$