第6章 第1节 空间几何体的结构特征、直观图-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

第六章　立体几何与空间向量 课时冲关42　空间几何体的结构特征、直观图 学生用书　P335 [基础训练组] 1．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 解析：B　[A不正确，棱锥的侧面为三角形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；B正确．] 2．(2024·青岛市模拟)以下命题： ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　　) A．0　　 B．1　　　 C．2　　 D．3 解析：B　[由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．] 3．(2024·广东质检)已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为(　　) A．2　 B．3　　 C.　　 D. 解析：C　[设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示： 则圆锥的体积V＝πr2h＝3π，所以r2h＝9，即h＝， S侧＝·2πrl＝2πr2，则l＝2r， 又h＝＝r，所以r3＝9，故r＝.] 4．(2024·福州市模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　) 解析：A　[由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.] 5．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________ cm. A．11 B．12 C．13 D．14 解析：C　[如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C. 在Rt△ABC中，AC＝12 (cm)，BC＝8－3＝5 (cm)．∴AB＝＝13 (cm)．] 6．(多选)(2024·潍坊模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是(　　) A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面面积最大值为3 解析：ACD　[如图，显然A，C成立，下面说明D成立， 如图截得正六边形，面积最大，MN＝2，GH＝， OE＝＝ ＝， 所以S＝2··(＋2)·＝3，故D成立．] 7．已知正四棱锥V－ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为________． 解析：如图， 取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V－ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2. 因为一条侧棱长为2. 所以VO＝＝＝6. 所以正四棱锥V－ABCD的高为6. 答案：6 8．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________． 解析：将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2. 答案：2 9．(2024·福州市调研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________． 解析：等腰梯形ABCD及其直观图A′B′C′D′.如图所示， 因为|OE|＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝， 则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝. 答案： 10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长． 解：如图，过圆台的轴作截面， 截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [能力提升组] 11.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　) A.　　　　　　 B. C. D． 解析：C　[如图，设正四棱锥的高为h， 底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：， 因此有h′2－2＝ah′，化简得42－2－1＝0，解得＝(负根已舍去)．] 12．(2022·北京卷，9)已知正三棱锥P－ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) A. B．π C．2π D．3π 解析：B　[过点P作底面射影点O， 则由题意，CO＝2，PC＝6，∴PO＝2，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆里，所以面积为π.] 13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________． 解析：如图截面正八边形，由题意知OG＝，且∠AOB＝45° 则∠GOB＝22.5°， 又∵tan 45°＝＝1， 解得tan 22.5°＝－1， ∴棱长AB＝2·GB＝2OGtan 22.5°＝2××(－1)＝－1. 观察可知该半正多面体共有26个面． 答案：26　－1 14．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC′的交点为N，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长； (3)三棱锥C－MNP的体积． 解：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为＝. (2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如图， 设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2. ∵MP＝，MA＝2，AC＝3， ∴x＝2，即PC＝2. 又∵NC∥AM，故＝，即＝. ∴NC＝. (3)S△PCN＝×CP×CN＝×2×＝. 在三棱锥M－PCN中，M到面PCN的距离， 即h＝×3＝. ∴VC－MNP＝VM－PCN＝·h·S△PCN＝××＝. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$