第5章 第2节 等差数列-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关37　等差数列 学生用书　P328 [基础训练组] 1．(2024·福州市模拟)已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝(　　 ) A．2n＋1　　　　　　 B．2n＋2 C．n＋1 D．n＋2 解析：D　[等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，∴(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1＝3.∴an＝3＋(n－1)＝n＋2.] 2．(2024·菏泽市模拟)已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝2a＋1，a5＝3a＋2，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，且Sk＝66，则k的值为(　　 ) A．9　　 B．11　　 C．10　　 D．12 解析：B　[∵在等差数列中，2a3＝a1＋a5， ∴2(2a＋1)＝1＋3a＋2，解得a＝1，即a1＝1，a3＝3，a5＝5， ∴公差d＝1， ∴Sk＝k×1＋×1＝66，解得k＝11或k＝－12(舍)．] 3．(2024·陕西咸阳武功县普集高级中学校考)《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排(从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊)，身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺(1尺为10寸)，则丁士兵的身高为(　　) A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸 解析：B　[设甲、乙、丙、丁、戊这5位士兵身高依次所成等差数列为{an}，公差为d，则解得a1＝5，d＝0.1， ∴丁的身高为a4＝a1＋3d＝5.3.] 4．(2024·四川绵阳南山中学实验学校校考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an＋1)2，则a2 024＝(　　) A．4 047 B．4 044 C．4 042 D．4 045 解析：A　[∵4Sn＝(an＋1)2　①， ∴当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2　②， ①－②得4an＝a－a＋2an－2an－1， 2(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1)， ∵an＞0，∴an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2， ∴当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，则an＝2n－1，于是有a2 024＝2×2 024－1＝4 047.] 5．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：C　[因为{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝， 故为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，为等差数列，即－＝＝为常数，设为t， 即＝t，故Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，故Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减有：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn⇒an＋1－an＝2t，且为常数，对n＝1也成立，故{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，故甲是乙的充要条件．] 6．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　) A．a9＝17 B．a10＝18 C．S9＝81 D．S10＝91 解析：BD　[∵对于任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)， ∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2. ∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2， 则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.] 7．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 解析：公共项为1,7,13，…，数列{an}是以1为首项6为公差的等差数列，其前n项和为n＝3n2－2n. 答案：3n2－2n 8．(2024·四川绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22，则该数列的第20项为________． 解析：高阶等差数列{an}：1,2,4,7,11,16,22，…，令bn＝an＋1－an，则数列{bn}：1,2,3,4,5,6，…，则数列{bn}为等差数列，首项b1＝1，公差d＝1，bn＝n，则an＋1－an＝n， 则a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋(a18－a17)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(19＋18＋17＋…＋1)＋1＝＋1＝191. 答案：191 9．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 解析：由an＝2n－10(n∈N＋)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5， ∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0， ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15| ＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15) ＝20＋110＝130. 答案：130 10．已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7. (1)设函数y＝f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn. 解：(1)证明：∵f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7 ＝[x－(n＋1)]2＋3n－8， ∴an＝3n－8， ∵an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3， ∴数列{an}为等差数列． (2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|， ∴当1≤n≤2时，bn＝8－3n， Sn＝b1＋…＋bn＝＝ ＝； 当n≥3时，bn＝3n－8， Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8) ＝7＋＝. ∴Sn＝ [能力提升组] 11．(2024·咸阳模拟)已知等差数列{an}的公差为－2，其前n项和为Sn.若a2，a4，a8成等比数列，则一定有(　　) A．a1＝－1 B．a3＋a5＝－14 C．S5＝－24 D．S4＝－20 解析：D　[因为a2，a4，a8成等比数列， 则a＝a8a2， ∴[a1＋3×(－2)]2＝[a1＋7×(－2)][a1＋(－2)]， 解得a1＝－2，A错误； a3＋a5＝2a4＝2×[－2＋3×(－2)]＝－16，B错误； S5＝＝5a3＝5×(－2－4)＝－30，C错误； S4＝－2－4－6－8＝－20，D正确．] 12．(多选)等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是(　　) A．d＞0 B．a1＜0 C．当n＝5时Sn最小 D．Sn＞0时n的最小值为8 解析：ABD　[由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d， 又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A，B正确； 因为Sn＝n2＋n＝n2－n， 由n＝－＝可知，当n＝3或4时Sn最小，故C错误；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确．] 13．(2024·湖州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝4n－25，则其前10项和S10的值为________，数列{|an|}的前n项和Tn＝________. 解析：因为an＝4n－25，所以S10＝＝－30；因为|an|＝|4n－25|，所以当n≤6时，Tn＝－a1－a2－…－an＝－＝n(23－2n)；当n>6时，Tn＝－a1－a2－…－a6＋a7＋…＋an＝－2S6＝n(2n－23)＋132.所以Tn＝ 答案：－30　 14．(2022·全国甲卷，17)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)由于＋n＝2an＋1，变形为2Sn＝2nan＋n－n2，记为①式，又当n≥2时，2Sn－1＝2(n－1)an－1＋n－1－(n－1)2，记为②式， ①－②可得(2n－2)an－(2n－2)an－1＝2n－2，n≥2，n∈N*， 即an－an－1＝1，n≥2，n∈N*，所以{an}是等差数列． (2)由题意可知a＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12，所以an＝－12＋(n－1)×1＝n－13，其中a1＜a2＜…＜a12＜0，a13＝0， 则Sn的最小值为S12＝S13＝－78. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$