第4章 第4节 复数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关35　复　数 学生用书　P325 [基础训练组] 1．已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，则z2 024＝(　　) A．－21 012i　　　 B．21 012i C．21 012 D．－21 012 解析：C　[∵z＝1＋i， ∴z2 024＝(z2)1 012＝[(1＋i)2]1 012＝(2i)1 012＝21 012×i1 012＝21 012.] 2．(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　) A．－1　 B．0　 C．1　 D．2 解析：C　[(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.] 3．(2024·天津市模拟)若复数z满足＝1－i，则其共轭复数在复平面内对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[由＝1－i，得z＝＝＝－i，∴＝＋i，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．] 4．(2023·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)．则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：D　[z在复平面对应的点是(－1，)，根据复数的几何意义，z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝－1－i.] 5．(2022·全国甲卷，1)若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 解析：C　[由＝＝－＋.] 6．(2024·唐山市模拟)复数z＝(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为(　　 ) A．1　 B．i　 C．2　 D．2i 解析：A　[∵z＝＝＝＋i是纯虚数， ∴，解得a＝1，则z＝i， ∴z的虚部为1.] 7．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　) A．－3＋2i B．3＋2i C．－2＋3i D．2＋3i 解析：A　[Δ＝36－4×13＝－16，所以x＝＝－3±2i.] 8．(多选)若复数z＝(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是(　　) A．复数z所对应的点位于第一象限 B.＝－－i C．z·＝ D.＝－i 解析：AC　[因为i2＝－1，所以i2 024＝(i2)1 012＝(－1)1 012＝1， 所以z＝＝＝＝＝＋i， 对于A，复数z＝＋i在复平面内对应的点在第一象限，故A正确； 对于B，由z＝＋i，可得＝－i，故B错误； 对于C，z·＝×＝－i2＝＋＝，故C正确； 对于D，＝＝＝＝－＋i，故D错误．] 9．(2024·天津市模拟)如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则＝________. 解析：由图形可得，A点表示的复数z1为i，B点表示的复数z2为2－i， ∴＝＝＝－1－2i. 答案：－1－2i 10．(2024·奉贤区调研)设z是复数，a(z)表示满足zn＝1时的最小正整数n，i是虚数单位，则a＝________________. 解析：因为＝＝＝i，依次代入in＝1，发现n＝4时等式第一次成立，所以a＝a(i)＝4. 答案：4 11．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________． 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 所以1＝a－bi，z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝a＋bi－ai－b＝a－b＋(b－a)i，因为z2的实部是－1， 所以a－b＝－1，所以z2的虚部为b－a＝1. 答案：1 12．已知复数z1满足z1－4＝(3－2z1)i(i为虚数单位)，z＝＋|z1－2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程． 解：由题意，得z1(1＋2i)＝4＋3i，所以z1＝＝2－i，所以z＝＋|－i|＝3＋i. 若实系数一元二次方程有虚根z＝3＋i， 则必有共轭虚根＝3－i.因为z＋＝6，z·＝10， 所以所求的一个实系数一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0. [能力提升组] 13．(2024·呼和浩特市模拟)已知复数z＝在复平面内对应的点在第二象限，则实数x的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：A　[复数z＝＝＝＋i在复平面内对应的点在第二象限， ∴，解得－3<x<. 则实数x的取值范围是－3<x<.] 14．(多选)已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ(其中i为虚数单位)下列说法正确的是(　　) A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．|z|＝2cos θ D.的实部为 解析：BCD　[因为－＜θ＜，所以－π＜2θ＜π，所以－1＜cos 2θ≤1，所以0＜1＋cos 2θ≤2，所以A选项错误； 当sin 2θ＝0，θ＝0∈时，复数z是实数，故B选项正确；|z|＝＝＝2cos θ，故C选项正确； ＝＝ ＝，的实部是＝，故D选项正确．] 15．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________． 解析：∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝. 答案： 16．若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数； ②z＋3的实部与虚部互为相反数． 则z＝________. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i. ∵z＋是实数，∴b－＝0. 又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.① 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， ∴a＋3＋b＝0.② 联立①②得 解得或 故z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件． 答案：－1－2i或－2－i 5 学科网（北京）股份有限公司 $$