第4章 第3节 向量的数量积-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关34　向量的数量积 学生用书　P324 [基础训练组] 1．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．5 解析：A　[由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.] 2．已知向量a，b满足 │a│ ＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．a B．a C．－a D．a 解析：A　[向量a－2b在向量a方向上的投影向量为·＝·a＝a.] 3．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：B　[因为a＝(3,1)，b＝(2,2)， 所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)， 则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2， 所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.] 4．(2024·贵阳适应性考试一)已知向量a，b，c满足a＝(3,0)，b＝(0,4)，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：B　[由条件可知c＝(3λ，4－4λ)， 则|c|＝＝＝，当λ＝时，|c|min＝.] 5．(多选)(2024·山东高考预测卷)已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝16 B．(a＋b)·a＝2 C．向量a＋b与a的夹角为30° D．向量a＋b在a上的投影向量为2a 解析：BD　[由题意，得a＋b＝(2,2)，对于A，|a＋b|＝＝4，故A不正确；对于B，(a＋b)·a＝2×1＋2×0＝2，故B正确；对于C，因为cos〈(a＋b)，a〉＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为60°，故C不正确；对于D，向量a＋b在a上的投影向量为·＝2a，故D正确．] 6．(2024·常德期末)已知点M的坐标为(2,0)，AB是圆O：x2＋y2＝1的一条直径，则·＝______. 解析：设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，且x＋y＝1，则·＝(x0－2，y0)·(－x0－2，－y0)＝－(x－4)－y＝3. 答案：3 7．(2022·全国甲卷，13)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析：因为cos〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11. 答案：11 8．(2024·内江市模拟)已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝________. 解析：如图所示，正方形ABCD的边长为2， ·(＋)＝·(＋2)＝ 2＋2·＝4. 答案：4 9．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影向量为______． 解析：∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴a在b上的投影向量为·＝(－4,7)＝. 答案： 10．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且·＝－. (1)求△ABC的面积； (2)若AB＝5，求AD的长． 解：(1)∵·＝－，∴||·||·cos∠BAC＝－||·||＝－，即||·||＝15， ∴S△ABC＝||·||sin ∠BAC＝×15×＝. (2)由AB＝5得AC＝3， 延长AD到E，使AD＝DE，连接BE. ∵BD＝DC, ∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°， 且BE＝AC＝3. 设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：(2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos ∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝，即AD的长为. [能力提升组] 11．(多选)已知向量a＝(，1)，b＝(cos α，sin α)，α∈，则下列结论正确的有(　　) A．|b|＝1 B．若a∥b，则tan α＝ C．a·b的最大值为2 D．|a－b|的最大值为3 解析：AC　[对于A，|b|＝＝1，A正确；对于B，若a∥b，则sin α－cos α＝0，∴tan α＝，B错误；对于C，a·b＝cos α＋sin α＝2sin，最大值为2，C正确；对于D，|a－b|＝ ＝＝ 因为α∈，所以α＋∈，则 sin∈，即|a－b|max＝＝，D错误．] 12．(2024·盐城、南京模拟一)在平面直角坐标系xOy中，设A(1,0)，B(3,4)，向量＝x＋y，x＋y＝6，则||的最小值为(　　) A．1　 B．2　　 C.　 D．2 解析：D　[＝(1,0)，＝(3,4)， 则＝x＋y＝(x＋3y,4y)， 由x＋y＝6，得x＝6－y，则＝(x＋3y,4y)＝(2y＋6,4y)， 所以＝－＝(2y＋5,4y)， 则||＝ ＝＝， 当时y＝－，||min＝2.] 13．(2024·深圳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点P(cos θ，sin θ)，则|＋|的最大值为________． 解析：由题意知， 直线x＋2y－4＝0分别与x轴、y轴交于点A、B， 则A(4,0)，B(0,2)，又P(cos θ，sin θ)， 所以＝(4－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，2－sin θ)， 有＋＝(4－2cos θ，2－2sin θ)， 则|＋|＝＝ ＝，其中tan φ＝2， 当sin(θ＋φ)＝－1时，|＋|取得最大值，且最大值为＝2＝2＝2＋2. 答案：2＋2 14．已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b＞c)． 解：(1)由题意知：f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， ∴f(x)的最小正周期T＝π， ∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， 由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1， ∵0＜A＜π，∴＜2A＋＜，∴2A＋＝π，∴A＝. ∵·＝3，即bc＝6，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc， 7＝(b＋c)2－18， b＋c＝5，又b＞c，∴b＝3，c＝2. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$