第4章 第2节 向量基本定理与向量的坐标-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关33　向量基本定理与向量的坐标 学生用书　P322 [基础训练组] 1．(多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 解析：ACD　[对A，零向量与任何向量都是共线向量，故e1＝(0,0)，e2＝(1,2)不能做为一组基底，故A不能；对B，(－1)×(－2)≠5×2，∴e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)不共线，故B能．对C，∵3×10＝5×6，∴e1＝(3,5)，e2＝(6,10)不能做为一组基底，故C不能．对D,2×3＝(－2)×(－3)，∴e1＝(2－3)，e2＝(－2,3)不能做为一组基底，故D不能．] 2．(2024·济源、平顶山、许昌质检一)正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，＝x ＋y ，则x＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [解析]　 C　[由题意 ， 即， 解得， ∴＝＋＝＋， 又＝x ＋y ，∴＝－ ∴＝，则x＝.] 3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 解析：D　[设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．] 4．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 解析：ABD　[各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．] 5．(2024·梅河口市模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　 ) A．2 B．4 C. D．－ 解析：B　[以向量a，b的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)， ∴，解得λ＝－2且μ＝－， 因此，则＝4.] 6．(多选)(2024·山东省高三月考)定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a*b＝mq－np.下面说法正确的是(　　) A．若a与b共线，则a*b＝0 B．a*b＝b*a C．对任意的λ∈R，有(λa)*b＝λ(a*b) D．(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 解析：ACD　[若a＝(m，n)，b＝(p，q)，共线，则mq－np＝0，依运算“*”知a*b＝0，故A正确；由于a*b＝mq－np，又b*a＝np－mq，因此a*b＝－b*a，故B不正确；对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa*b)＝λmq－λnp， 又λ(a*b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确； 对于D，(a*b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2) ＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2·|b|2，故D正确．] 7．(2024·吕梁模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________. 解析：2a＋b＝2(1,2)＋(2，－2)＝(4,2)， c∥(2a＋b)，∴1×2－4λ＝0，解得λ＝. 答案： 8．(2024·柳州市模拟)设A(1,1)、B，点C满足＝2，则点C到原点O的距离为________． 解析：∵＝2， ∴－＝2(－)， ∴＝(＋2)＝ ＝(3,4)． ∴||＝5，即点C到原点O的距离为5. 答案：5 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________________. 解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 所以a2＋b2－c2＝ab，＝， 结合余弦定理知，cos C＝，又0°<C<180°， ∴C＝60°. 答案：60° 10．如图，已知△OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将分为2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a和b表示向量、； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝. 由平行四边形法则，得＋＝2. ∴＝2－＝2a－b， ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)如题图，∥. 又∵＝－＝(2a－b)－λa ＝(2－λ)a－b， ＝2a－b， ∴＝，∴λ＝. [能力提升组] 11．(2024·葫芦岛市模拟)已知扇形AOB中∠AOB＝，点C为弧上任意一点(不含点A，B)，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋2μ的取值范围是(　　) A．(0,2)　　　　　 B．(1,2] C. D． 解析：D　[以O为坐标原点，所在的直线为直角坐标系的x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设扇形AOB的半径为1，则＝(1,0)，＝＝， 设C(cos θ，sin θ)， ∴＝(cos θ，sin θ)， λ＋μ＝(λ，0)＋ ＝. ∵＝λ＋μ， ∴，， 解得， ∴λ＋2μ＝sin θ＋cos θ ＝sin(θ＋φ)， 由此可知，sin φ＝，0＜φ＜. ∵0＜θ＜，∴φ＜θ＋φ＜＋φ， ∴sin φ＜sin(θ＋φ)≤sin， 即＜sin(θ＋φ)≤1， ∴1＜sin(θ＋φ)≤， 即λ＋2μ的取值范围是.] 12．(2024·雅安市模拟)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是(　　) A．[－，1] B．[－， ] C. D． 解析：A　[建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F，P(cos α，sin α)(－90°≤α≤90°)， 则＝(cos α，sin α)，＝(－1,1)，＝. ∵＝λ＋μ， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ， ∴cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋μ， ∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin(α－45°)． ∵－90°≤α≤90°，∴－135°≤α－45°≤45°， ∴－1≤sin(α－45°)≤， ∴－≤ sin (α－45°)≤1， ∴2λ－μ的取值范围是[－，1]．] 13．(2024·红桥区模拟)在△ABC中，点D满足＝，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若＝λ＋μ，则λ＋的最小值为________． 解析：如图所示，△ABC中，＝， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又点E在射线AD(不含点A)上移动，设＝k，k＞0，∴＝＋， 又＝λ＋μ，∴， ∴λ＋＝＋≥2＝，当且仅当k＝时取“＝”；∴λ＋的最小值为. 答案： 14．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4) ＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$