第4章 第1节 平面向量及其线性运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

第四章　平面向量、复数 课时冲关32　平面向量及其线性运算 学生用书　P320 [基础训练组] 1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　) A.＋　　　　　B.＋ C.＋ D．＋ 解析：A　[＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋＝＋.] 2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：D　[由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)， (λ－k)a＝(λ＋1)b.∵a，b 不共线，∴ ∴k＝λ＝－1.∴c与d反向．] 3．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　 ) A.＋ B．－ C.＋ D．＋ 解析： AC　[如图所示，设BC中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.] 4．已知向量a，b是两个不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[A，B，C三点共线等价于，共线，根据向量共线的充要条件知，、共线，即存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于向量a，b不共线，根据平面向量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要条件．] 5．(2024·四川泸县第四中学校考模拟) 衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中△ABC为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且BC＝2DE，AB＝AC，∠CDE＝，则＝(　　) A.＋2　　　 B.＋3 C.＋2 D．＋3 解析：C　[如图，延长CD和BE交于点F，由题得∠A＝∠F＝∠FCA＝∠FBA＝90°，所以四边形ABFC为矩形，又AB＝AC，所以四边形ABFC为正方形，又BC＝2DE，所以D，E分别是CF，BF的中点，所以＝＋＝＋2.] 6．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A. B． C. D． 解析：D　[设＝y，∵＝＋ ＝＋y＝＋y(－) ＝－y＋(1＋y). ∵＝3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)， ∴y∈，∵＝x＋(1－x)， ∴x＝－y，∴x∈.] 7．(2024·朔州模拟)已知O是△ABC内一点，满足＝，则S△ABC∶S△OBC＝(　　) A．3∶1　 B．1∶3　 C．2∶1　 D．1∶2 解析：A　[＝＝＋＝＋(－)＝(＋)， 所以O是△ABC的重心，所以S△ABC∶S△OBC＝3∶1.] 8．(多选)在给出的下列命题中，正确的是(　　) A．设O、A、B、C是同一平面上的四个点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A、B、C必共线 B．若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ、λ∈R)，且表示方法是唯一的 C．已知平面向量、、满足·＝·，＝λ则△ABC为等腰三角形 D．已知平面向量、、满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0，则△ABC是等边三角形 解析：ACD　[对于A，＝m·＋(1－m)·(m∈R)， ∴－＝m(－)，∴＝m，且有公共点C， ∴点A、B、C共线，命题A正确； 对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件a，b不共线，故B错误；对于C，由于·＝·，即·(－)＝0，·＝0， 得⊥，即OA为BC的垂线， 又由于＝λ，可得OA在∠BAC的角平分线上， 综合得△ABC为等腰三角形，故C正确； 对于D，平面向量、、满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0， ∴＋＝－，∴2＋2·＋2＝2， 即r2＋2r2·cos〈，〉＋r2＝r2， ∴cos〈，〉＝－， ∴、的夹角为120°，同理、的夹角也为120°， ∴△ABC是等边三角形，故D正确．] 9．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝________. 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同． ∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ， ∴解得 即当t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上． 答案： 10．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝ ，＝ ，则＝________(用e1，e2表示)． 解析：如图所示，＝－＝＋2 ＝＋＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2. 答案：－e1＋e2 11．已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题： ①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正确命题的序号为________． 解析：＝a，＝b，＝＋ ＝－a－b， ＝＋＝a＋b，＝(＋) ＝(－a＋b)＝－a＋b，∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0. ∴正确命题为②③④. 答案：②③④ 12．在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________. 解析：取AB的中点F，连接CF，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD. ∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝. 答案：　 [能力提升组] 13．已知O是△ABC所在平面内的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a ＋b ＋c ＝0，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：A　[∵＝－，＝－，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b(－)＋c(－)＝b ＋c －(a＋b＋c)，而a ＋b ＋c ＝0，∴(a＋b＋c)＝b ＋c ，即＝ ＋·，记＝c n1，＝bn2，其中n1，n2分别表示，方向上的单位向量，则＝·(n1＋n2)，由该式可以看出AO平分∠BAC，故O为内心．故选A.] 14．(多选)(2024·山东省高三模拟)已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B.＝＋ C.·＞0 D．S＝4 解析：BD　[由＋2＝0，＝2， 可知点P为AC的三等分点，点Q为AB延长线的点， 且B为AQ的中点，如图所示： 对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点， 所以PB与CQ不平行，故A错误； 对于B，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故B正确； 对于C，·＝||||cos π＝－||·||＜0，故C错误；对于D，设△ABC的高为h，S△ABC＝AB·h＝3，即AB·h＝6， 则△APQ的面积S△APQ＝AQ××h＝×2AB×h＝×6＝4，故D正确．] 15. (2024·徐水区模拟)如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M，N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且＝x＋y(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为________． 解析：∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴＝x＋y＝2x＋2y， ∵M，C，N三点共线， ∴2x＋2y＝1，即x＋y＝， ∴xy≤2＝， ∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝－2xy≥－＝(当且仅当x＝y＝时，取等号)． 答案： 16．(2024·马鞍山市质检)已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3＋2＋＝0，＋＋＝0，则S△PAB∶S△QAB为________． 解析：因为3＋2＋＝2(＋)＋＋＝0，所以P在与BC平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得S△PAB＝S△ABC，＋＋＝0，可得Q是△ABC的重心，因此S△QAB＝S△ABC，S△PAB∶S△QAB＝1∶2. 答案：1∶2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$