第2章 第13节 第1课时 利用导数证明不等式-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第13节 导数的综合应用 课时冲关20 利用导数证明不等式 学生用书 P302 1. (2024红河州模拟)已知函数/x)=mx-nx-lnx(m,nER) (1)若函数fx)在(1,f(1)处的切线与直线x一v一0平行,求实数n的值 (2)若n-1时,函数/f(x)恰有两个零点x,x(0<x<x),证明:x+x>2 解:(1)因为f(x)=nx2-1x,且切线与直线x-y=0平行,可得f(1)=n-1=1,所以 n-2; (②)证明:当n=1时,fx)=m-lx-lnx 由题意知m-ffIxl1x2)-lnx2=0②. ②-①得:lnx-lnx=x2-xlx1x2 即lnx2x1-x2x/x2③ 令(-x2xl,则x=x,且t>1. 又因为x+x=×+x=(1+,由③知: ln/=t-1tx1. 所以x=t-1tlnt(t>1). 要证x+x>2, 只需证(1+ot-1tlnt>2. 即证t2-1t>2lnf 即1-1t-2ln>0 令zn(=t-1t-2lnt>1),则h(=□t-1口2t2>0. 所以h(在(1,+o)上单调递增且h(1)-0, 所以当tE(1,+o)时,h(>0 即x+x>2 2. (2024乐山市模拟)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(aER). (1)求函数y一/)的单调区间; (②)当a-1时,证明:对任意的x>0,fx)+e>x2+x+2 解:(1)函数/fx)的定义域是(0,十o), f()=2x-(a-2)-ax=□x+1口□2x-a口x 当a0时,f()>0对任意xE(0,+o)恒成立 所以函数/fx)在区间(0,+)上单调递增: 当a>0时,由f(x)>0得x>a2,由f(x)<0,得0<x<a2,所以函数fx)在区间 avs4alcol0f(a2),+co)上单调递增,在区间avs4alcol(0,f(a2)上单调递减.综上所述 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当a<0时,函数f{)的单调递增区间为(0,+o),无减区间;当a>0时,函数/的单调递 增区间为avs4alcol(f(a2),+co),单调递减区间为avs4alcol(0,f(a2)) (2)当a=1时,fx)=x2+x-lnx. 要证明/x)+e>x十x十2,只需证明e-lnx-2>0. 设gx)=e-lnx-2,则问题转化为证明对任意的x>0.g(x)>0,令g'(x)=e-lx=0. 得-1x. 易知方程有唯一解,不妨设为x,则x。满足ex。一]x0. 当x变化时,g'()和g(x)变化情况如下表: (0.xn) (x十o) g() 0 士 递减 极小值 g) 递增 g([x)min-g(xo)-ex-lnx-2-1x0+x-2. 因为x>0,且x1,所以gx)n>21-2-0, 因此不等式得证 3.(2024岳阳市模拟)已知函数/x)=ax②+lnx+2 (1)若aER,讨论函数/fx)的单调性; (②)曲线gx)=/x)-a与直线1交于A(x,y),B(x,y)两点,其中x<x,若直线1斜 率为k,求证:xlk2 解:(1)(x)-2ax+1x=2ax2+1x(x>0) a0时,恒有f(t)>0,fx)在(0,+o)上单调递增 a<0时,令f(x)>0,即2ax2+1>0,解得0<x<12a),令ff(x)<0,即2a+1 <0,解得x>12a) 综上,a0时,fx)在(0,+o)上单调递增 a<0时,/x)在avs4alcol(0, r(一f(12a)上单调递增,在aivs4alcol(r(一) f(12a),十。o)上单调递减; (2)证明:k-g□x2□-gx1□x2-x1=lnx2-lnxlx2-xl. 要证x<1k,即证x-x2-xllnx2-lnxl-x. 等价于1-x2xlx2xl-x2xl,令t=x2xl,则1. 只需证1ct-1lntf, 由t>1知nt>0,故等价于lnt<t-1<tnt 设(-f-1-lnt,则'(=1-1t0, 所以q(在(1,+)上单调递增,所以(0>(1)=0,即1-1>lnl 又设h(-tnt-(t-1),则h()-lnt>0 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以h(t)在(1,+oo)上单调递增 所以h(>h(1)=0,即tnt>-1. 故x<1k<x2. 4:(2023天津卷)已知函数/x)=avs4alcol0f(112)lnx+1) (1)求曲线y一fx)在x=2处切线的斜率 (2)当x0时,证明:fx