第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关19　利用导数研究函数的极值、最值 学生用书　P301 [基础训练组] 1．(2024·沈阳市模拟)设函数f(x)＝xex＋1，则(　　 ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：D　[由于f(x)＝xex＋1，可得 f′(x)＝(x＋1)ex， 令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1， 令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数，令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．] 2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　) A.　　 B．1　　 C．0　　 D．不存在 解析：A　[f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝.] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 解析：C　[由题意可知f′(x)＝aex－≥0在区间(1,2)上恒成立，即a≥max，设g(x)＝xex，则在x∈(1,2)上恒有g′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)min＝g(1)＝e，则max＝，即a≥e－1.] 4．若关于x的不等式x3－3x＋3－－a≤0有解，其中x≥－2，则实数a的最小值为(　　 ) A．1－ B．2－ C.－1 D．1＋2e2 解析：A　[化简可得a≥x3－3x＋3－， 设f(x)＝x3－3x＋3－，则a≥f(x)min， ∴f′(x)＝3x2－3－＝(x－1)(3x＋3＋e－x)． 可证3x＋3＋e－x>0恒成立． 令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 所以f(x)min＝g(1)＝1－3＋3－＝1－.] 5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷，10)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 解析：AC　[f′(x)＝3x2－1，所以f(x)有两个极值点－与，又f＝1－>0，所以f(x)只有一个零点；由f(x)＋f(－x)＝2可知，点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心；令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1， 当切点为(1,1)时，切线方程为y＝2x－1， 当切点为(－1,1)时，切线方程为y＝2x＋3.] 6．(多选)对于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)在x＝1处取得极大值 B．f(x)有两个不同的零点 C．f(4)<f(π)<f(3) D．πe2>2eπ 解析：AC　[本题考查利用导数研究函数的性质．由函数f(x)＝，可得函数f(x)的导数为f′(x)＝.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．可得函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以A正确；因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)>0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4>π>3>1，可得f(4)<f(π)<f(3)，所以C正确；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且π>2>1，可得<，即πe2<2eπ，所以D错误．] 7．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________． 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2<a<2时恰有三个不同的公共点，故a的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2) 8．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)， 当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0. 故当x＝3时，该商品的年利润最大． 答案：3 9．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为______． 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a. ∴f′(