解析几何 课件-2024届高三数学二轮复习

　解析几何 培优点1 √ √ 培优点2 √ 培优点3 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． [典题研磨] [例1]　(1)已知椭圆C1： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2))) C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) (2)已知双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　) A． eq \f(4,3) B． eq \f(5,3) C．2 D． eq \f(7,3) [解析]　(1)由椭圆上长轴端点向圆作两条切线PA，PB，则两切线形成的角最小，即∠APB最小，若椭圆C1上存在点P使两条切线互相垂直，则只需∠APB≤90°，即α＝∠APO≤45°，∴sin α＝ eq \f(b,a) ≤sin 45°＝ eq \f(\r(2),2) ，解得a2≤2c2，∴e2≥ eq \f(1,2) ，即e≥ eq \f(\r(2),2) ，又0<e<1， ∴ eq \f(\r(2),2) ≤e<1，即e∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) . (2)由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，　① 又|PF1|＝4|PF2|，　②故联立①②，解得|PF1|＝ eq \f(8,3) a，|PF2|＝ eq \f(2,3) a，在△PF1F2中，由余弦定理， 得cos ∠F1PF2＝ eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a) ＝ eq \f(17,8) － eq \f(9,8) e2，要求e的最大值，即求cos ∠F1PF2的最小值， 当cos ∠F1PF2＝－1时，解得e＝ eq \f(5,3) ，即e的最大值为 eq \f(5,3) . [答案]　(1)C　(2)B 解决此类题型的一般方法是借助圆锥曲线的定义、平面图形中的不等关系及题目中所给的不等信息，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． [押题演练] 1．已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5)＋1,2))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)，＋∞)) C．(1， eq \r(2) ] D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，＋∞)) A　[设P(x，y)，|PB|≥b⇒ eq \r(x2＋（y－b）2) ≥b⇒x2＋y2－2by≥0(*)，由 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1⇒x2＝a2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(y2,b2))) ，代入不等式(*)中，化简得 eq \f(c2,b2) y2－2by＋a2≥0恒成立，则有Δ＝4b2－ eq \f(4a2c2,b2) ≤0⇒b4≤a2c2⇒b2≤ac⇒c2－a2≤ac⇒e2－e－1≤0，解得 eq \f(1－\r(5),2) ≤e≤ eq \f(1＋\r(5),2) ，而e>1，所以1<e≤ eq \f(1＋\r(5),2) .故选A.] 2．设M是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心率的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c