专题19.3 平行四边形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题19.3 平行四边形中的动点问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】在矩形中， ，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（）． （1）如图1，M、N分别是、中点，当四边形是矩形时，求t的值． （2）若G、H分别从点A、C沿折线A—B—C，C—D—A运动，与E、F相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的，则t的值是 　　 ． ③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，请直接写出四边形周长的最小值是 　　 ． 【思路点拨】 （1）根据条件证明四边形是平行四边形，连接，求出t的值即可； （2）①连接，，根据菱形的性质和题中条件证出，从而得到即可求解； ②连接，根据题中条件和①中结论证明，从而得到是平行四边形，即可求出答案； ③根据求最小路径的方法作出点G关于的对称点，过点作于K，连接，，再根据“三角形两边之和大于第三边”即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵M、N分别是、中点， ∴， ∵E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M、N分别是、中点，、， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得或； （2）解：①由（1）知：， ∴，， ∴， 如图2，连接，， ∵四边形菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接，如图所示， 由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ③如图4，作点G关于的对称点，过点作于K，连接，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由②知：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 当G'，Q，H三点共线时，四边形周长有最小值，且最小值是． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（22-23九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．5 B． C．5或8 D．5或8或 2．（2023·河北·二模）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ）    A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或  3．（22-23八年级下·全国·期末）如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 4．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整 5．（22-23八年级下·湖