第18章 平行四边形 之正方形与“十字架” 学案-2023-2024学年人教版八年级数学下册

正方形与“十字架” 【教学目标】 1、能够识别正方形中“十字架”模型; 2、能够证明正方形中“十字架”基本结论及条件结论互换； 3、能够证明正方形中“十字架”的变式. 【教学重点】 帮助学生建立模型思维，熟悉条件与结论的互换及推导；在十字架模型的变式中体会数学的化归思想 【教学过程】 一、知识回顾 如图，△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，AD、BE相交于F，且∠AFE＝60°， 求证：①AD＝BE；②BD=CE 二、新课讲授 例1 正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，AF⊥BE，求证：①CE=BF；②BE=AF. 变式1 正方形ABCD中， 若CE=BF，求证：①AF⊥BE；②AF=BE 变式2 正方形ABCD中，若AF=BE，求证①AF⊥BE；②CE=BF 【自学小结】在正方形ABCD中，三个条件①AF⊥BE；②AF=BE；③CE=BF（DE=CF），知 推 ； 方法为： 练1如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为（　　） A． B． C．2 D．3 练2如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE＝DF，AE、BF交于点H （1）求证：AE＝BF；（2）若AB＝4，CE＝1，求AH的长． 【自学小结】“十字架”中，知垂直找 ，知相等找 变式1：一条线段端点不在顶点 例2 正方形ABCD中，点E，N，M分别在CD，BC，AD上，MN⊥BE，求证：①MN=BE；②BN=AM+CE 思考：正方形ABCD中，点E，N，M分别在CD，BC，AD上，M为AD中点，如果MN=BE，能否得到MN⊥BE呢？ 应用：若此题中正方形ABCD边长为6，求BN的长 变式2：两条线段端点都不在顶点 例3 在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，求证：EF=GH. 思考：如果GH=EF，能否得到GH⊥EF呢？ 【自学小结】“十字架”变式中，通过 还原成例1图形；或者 三、课后作业 1.如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是CD、BC、AD上一点，BE⊥GF于点M，M是BE的中点，求证：GF=2CM 2.如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若DF＝2，BG＝4，则AE的长为（　　） A．4 B． C．10 D．12 3．如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为 　 　． 4、 课堂小结 1. 在正方形ABCD中， 条件：①AF⊥BE；②AF=BE；③CE=BF（DE=CF） 结论：知一推二 方法：证明所在的两个直角三角形全等 2. “十字架”变式：通过平移还原成上图，或者直接作垂构造直角三角形全等 注：垂直可以证明相等，相等不一定得到垂直（两种情况） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$