第6章 课时冲关39 数列中的构造问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教A版）

课时冲关39　数列中的构造问题 对应学生用书　P269 1．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an等于(　　 ) A．22n＋1＋2　　　　　 B．22n＋1－2 C．22n－1＋2 D．22n－1－2 解析：C　[∵an＋1＝4an－6，∴an＋1－2＝4(an－2)，所以＝4，所以数列{an－2}是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，所以an－2＝2×4n－1，∴an＝22n－1＋2.] 2．已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝(n∈N*)，则a16为(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[由an＋1＝得：＝＝＋，又＝1，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝，∴an＝，∴a16＝.] 3．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　 ) A．80 B．100 C．120 D．143 解析：C　[因为an＋1＝an＋2＋1，所以an＋1＋1＝()2＋2＋1，即an＋1＋1＝(＋1)2，等式两边开方可得：＝＋1，即－＝1，所以数列{}是以首项为＝2，公差为1的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝n2＋2n，所以a10＝102＋20＝120.] 4．若Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝10，且Sn＋1＋2Sn－1－3Sn＝2×3n，则S2 023＝(　　 ) A．32 024－22 025＋1 B．32 023－22 024＋1 C．2×32 023－22 024 D．2×32 024－22 025 解析：A　[由题意得当n≥2时，an＋1－2an＝2×3n，设an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，得an＋1－2·3n＋1＝2(an－2·3n)，a2－2·32＝2(a1－2·3)也满足上式，故an－2·3n＝(－4)×2n－1，an＝2(3n－2n)，Sn＝2×－＝3n＋1－2n＋2＋1，故S2 023＝32 024－22 025＋1.] 5．数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，则下列结论错误的是(　　 ) A.＝＋ B.是等比数列 C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49 解析：D　[由an＋1＝，且a1＝1，则a2＝＞0，a3＝＞0，…，以此类推可知，对任意的n∈N*，an＞0，所以，＝＝＋2，所以－＝2，且＝1，所以，数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以，＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，C对；＝2＝22＝4，所以，数列是等比数列，B对；由等差中项的性质可得＝＋，A对；由上可知 an＝，则3a5a17＝3××＝，a49＝＝，所以，3a5a17≠a49，D错．] 6．(2024·云南昆明统考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则S10＝(　　) A. B. C．410－1 D．411－1 解析：A　[因为an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝3≠0， 所以＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为3，则数列{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为42＝16，首项为3.所以S10＝＝.] 7．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　 ) A.为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n 解析：AB　[因为an－3an＋1＝2an·an＋1，所以＋1＝3，又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，＋1＝2×3n－1即an＝，所以{an}为递减数列，的前n项和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－n＝3n－n－1.] 8．(多选)(2024·河北省张家口模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．{an}为单调递增数列 B．0＜an≤2 C.－＝2(Sn－an) D．当n≥2时，数列{an}的前n项和Sn满足Sn≤2n－ 解析：BCD　[对于A，因为an＋1＝，n∈N*，若an＝0，则an＋1＝＝0，故{an}是各项为0的常数列，与a1＝2矛盾， 所以an≠0，a＞0，则2a＋1＞1，故0＜＝＜1，即an＋1＜an， 所以数列{an}是单调递减数列，故A错误； 对于B，因为＝＞0， 若an＜0，则an＋1＜0，故{an}是各项为负数的数列，与a1＝2矛盾，所以an＞0， 又因为数列{an}是单调递减数列，所以a1＝2是数列{an}中最大的项，所以an≤2， 综上，0＜an≤2，故B正确； 对于C，因为an＋1＝，所以＝＝2an＋，则－＝2an， 所以－＝2a1，－＝2a2，…，－＝2an－1， 上述各式相加得－＝2a1＋2a2＋…＋2an－1＝2(Sn－an)， 又a1＝2，所以a2＝＝＝， 经检验：－＝－＝4,2(S2－a2)＝2a1＝4，满足－＝2(Sn－an)， 所以－＝2(Sn－an)，故C正确； 对于D，由选项A知，an＜a1＝2(n≥2)， 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋＋a3＋…＋an＜＋2(n－2)＝2n－，故D正确．] 9．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，则an＝______. 解析：因为a1＝，an＋1＝an＋n＋1，所以2n＋1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－n－1，解得an＝－. 答案：－ 10．(2024·福建省高三模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则的前n项和为___________． 解析：数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，整理得：2an＋1＋3anan＋1＝an， 所以＋3＝2， 又＋3＝4，故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以＝2n＋1－3，所以的前n项和Tn＝－3n＝2n＋2－3n－4. 答案：2n＋2－3n－4 学科网（北京）股份有限公司 $$