第5章 热点强化课4 平面向量的综合问题(教师专享)-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教A版）

热点强化课4　平面向量的综合问题(教师专享) [基础巩固练] 1．边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足：＝＋λ(λ∈R)，则·的取值范围是(　　 ) A.　　　　　　 B. C. D．[－2,2] 解析：B　[因为点M在△ABC内部(包括边界)，所以0≤λ≤，由·＝·(＋)＝·＝－2＋＋2λ＝－＋2λ∈.] 2．已知平面向量a与a＋2b的夹角为30°，则的最大值为(　　 ) A.　　 B．2　　　 C．4　　　 D．8 解析：C　[以|a|与2|b|为两边作△ABC，a＝，2b＝，∠CAB＝30°， 则a＋2b＝，则在△ABC中|BC|≥|AB|sin∠CAB，即2|b|≥|a|，则≤4，当且仅当2|b|＝|a|，即2b⊥a时等号成立．] 3．(2024·太原模拟)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝2，|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[|a＋b－c|2＝(a＋b)2＋c2－2(a＋b)·c＝1，设(a＋b，c)＝θ，则4＋|c|2－2×2×|c|cos θ＝1，cos θ＝，因为|cos θ|≤1，所以≤1，即|c|2－4|c|＋3≤0，解得：1≤|c|≤3，所以|c|的最大值为3.] 4．圆O为锐角△ABC的外接圆，AC＝2AB＝2，点P在圆O上，则·的取值范围为(　　) A. B．[0,2) C. D．[0,4) 解析： C　[由△ABC为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如图所示， 又·＝(＋)·＝·＋·，而AC＝2AB＝2，若外接圆半径为r， 则2r2(1－cos∠AOB)＝2r2(1－cos 2C)＝1，故cos 2C＝1－，且2r＞2，即r＞1， 由·＝||||cos∠AOB＝r2cos 2C＝r2－， 对于·且P在圆O上，当AP为直径时·＝r2，当A，P重合时，·＝－r2， 所以·∈[－r2，r2]， 综上，·∈， 锐角三角形ABC中∠BAC＜90°， 则BC＜＝， 即BC＝2rsin∠BAC＜恒成立， 所以1＜r＜，则2r2－＜2恒成立， 综上，·∈.] 5．(2024·济宁一模)等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则·＋·的最大值为(　　) A．4 B．7 C．8 D．11 解析：C　[如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心， 以O为原点，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AO＝2，所以A(0,2)，等边三角形ABC的边长为a，则＝＝2R＝4，所以a＝2， 则B(－，－1)，C(，－1)． 又因为P是该圆上的动点， 所以设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]， ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，＝(－－ 2cos θ，－1－2sin θ)，＝(－2cos θ，－1－2sin θ)，·＋·＝－2cos θ(－－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－－ 2cos θ)(－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2cos θ＝4＋4sin，因为θ∈[0,2π]，θ＋∈， sin∈[－1,1]，所以当sin＝1时，·＋·的最大值为8.] 6．(2024·安徽临泉第一中学校考)在△ABC中，|＋|＝2|－|，则sin A的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由|＋|＝2|－|， 两边同时平方得|＋|2＝4|－|2， 展开整理得10··＝3||2＋3||2， 即10·||·||·cos A＝3||2＋3||2， 当且仅当||＝||时等号成立． 又∵sin2A＋cos2A＝1且sin A＞0， ∴cos A＝时，sin A取最大值.] 7.(多选)如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB＝，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD＝1，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是(　　) A.·的最小值为0 B.·的最小值为1－ C.·的最大值为1 D.·的最小值为0 解析：BCD　[以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 所以B(0,1)，A(1,0)，设∠EOA＝θ，则E(cos θ，sin θ)，＝(cos θ，sin θ)，＝(－1,1)，所以·＝sin θ－cos θ＝sin， 因为θ∈，所以θ－∈，所以sin∈， 所以·∈[－1,1]，·的最小值为－1，故A错误； ＝(1－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，1－sin θ)， 所以·＝－cos θ＋cos2θ－sin θ＋sin2θ＝1－sin， 因为θ∈，所以θ＋∈，所以sin∈， 所以1－sin∈[1－，0]，所以·∈[1－，0]， ·的最小值为1－，故B正确； 设C(t,0)(t∈[0,1])，又|CD|＝1，所以|OD|＝，可得D(0，)， ＝(t－cos θ，－sin θ)，＝(－cos θ，－sin θ)， 所以·＝－tcos θ＋cos2θ－sin θ＋sin2θ＝1－(tcos θ＋sin θ)， ＝1－sin(θ＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝t， 又t∈[0,1]，所以cos φ，sin φ∈[0,1]，所以φ∈，φ＋θ∈[0，π]， sin(φ＋θ)∈[0,1]，－sin(φ＋θ)∈[－1,0]，所以·∈[0,1]， ·的最小值为0，最大值为1，故CD正确．] 8．(多选)平面向量a，b，c，满足|a|＝1，|b|＝2且a⊥(a－b)，〈c－2a，c－b〉＝30°，则下列说法正确的是(　　 ) A．|2a＋b|＝2 B．a在b方向上的投影向量为b C．|c|的最大值是2＋2 D．若向量m满足m·a＝2，则m·(m－b)的最小值为 解析：ACD　[因为|a|＝1，|b|＝2且a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝1，cos〈a，b〉＝＝，所以a，b的夹角为60°，因为|2a＋b|＝＝＝2，所以A正确；a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝b，所以B错误； 如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆，则 ＝2a，＝b，＝c，则＝c－2a，＝c－b，因为∠ACB＝30°，所以〈c－2a，c－b〉＝30°，符合题意，由图可知，当OC同过两圆的圆心时|c|最大，此时|c|的最大值等于圆心距加半径为2＋2，所以C正确； 作＝a，＝b，如图，||2＝(b－a)2＝b2＋a2－2b·a＝3＝||2－||2，所以∠OAB＝90°，令＝m，由 m·a＝2得||cos∠AOM＝2，在射线OA上取点E，使得OE＝2，过E作直线l⊥OA，则有点M在直线l上，取OB中点C，过C作CD⊥l，垂足为D，连接BM，CM，OM，m·(m－b)＝·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋)＝2－2≥2－1＝2－1＝，当且仅当M，D重合时取得等号，所以 m·(m－b)的最小值为.所以D正确．] 9．(2024·安阳市校联考模拟)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为____________；(＋)·的最小值为____________． 解析：设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB， ∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x， ∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF， ∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1， ∴|2＋|＝1， ∵(＋)· ＝(＋)·(＋)＝2＋· ＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝52＋，所以当x＝时，(＋)·的最小值为. 答案：1　 10．已知平面向量a，b，c满足：|a|＝|b|＝|a＋b|，|c|＝2|a－c|＝2，则|b－c|的最小值是_________． 解析：如图在平面直角坐标系中， 设c＝＝(2,0)，a＝，a－c＝， ∵|c|＝2|a－c|＝2，∴A的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，设b＝，a＋b＝，由|a|＝|b|＝|a＋b|可知〈a，b〉＝∠AOB＝120°，设∠OCA＝θ，∠AOC＝α，∠BOF＝60°－α，则||＝1，||＝cos θ，||＝sin θ，则D(2－cos θ，0)，A(2－cos θ，sin θ)，sin α＝＝， 设B(x0，y0)，则x0＝－||cos(60°－α)＝ ∴－x0－1＝sin θ－cos θ⇒(x0＋1)2 ＝sin2θ＋cos2θ－sin θcos θ，　① －y0＋＝sin θ＋cos θ⇒(y0－)2 ＝sin2θ＋cos2θ＋sin θcos θ，　② ①＋②得：(x0＋1)2＋(y0－)2＝1，则B的轨迹是以G(－1，)为圆心，1为半径的圆，则|b－c|＝||≥||－1＝2－1. 答案：2－1 学科网（北京）股份有限公司 $$