第4章 课时冲关28 三角函数中有关ω的范围问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教A版）

课时冲关28　三角函数中有关ω的范围问题 对应学生用书　P248 [基础巩固练] 1．(2024·镇海中模拟)已知函数f(x)＝3tan(ω＞0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝(　　) A．2　　　 B．4　　　　 C．8　　　　 D．16 解析：B　[设f(x)的最小正周期为T，由函数f(x)＝3tan(ω＞0)的图象上相邻两个对称中心之间的距离为，知＝，T＝，又因为T＝，所以＝，即＝＝2，则ω＝4.] 2．(2024·四川绵阳高三三台中学校考)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若g(x)在上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由题可知，g(x)＝sin， 当0＜x＜时，－＜2ωx－＜－. 因为g(x)在上有且仅有3个极值点，所以＜－≤，解得4＜ω≤， 所以ω的取值范围为：.] 3．(2024·娄底质检)将函数f(x)＝cos的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在上单调递减，则ω的最大值为(　　) A. B. C. D．1 解析：B　[将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos的图象． 因为x∈，所以<ωx－＋<ωπ＋，因为g(x)在上单调递减，所以ωπ＋≤π，0<ω≤，所以ω的最大值为.] 4．(2024·河南部分名校8月摸底)已知函数f(x)＝2cos2－(ω>0)在[0，π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[f(x)＝2cos2－＝cos＋，令t＝2ωx－，∵0≤x≤π，∴－≤2ωx－≤2πω－，由题意f(x)在[0，π]上恰有7个零点，即cos t＝－在t∈上恰有7个不相等的实根，由y＝cos t的性质可得≤2πω－<，解得≤ω<.] 5．(2024·山西大同高三统考)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在区间[0,1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由题意f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0， 0＜φ＜π)的最小正周期为T，则T＝， 又f(T)＝，可得cos(ω×＋φ)＝，即cosφ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝， f(x)＝2cos(ωx＋)在区间[0,1]上恰有3个零点， 当x∈[0,1]时，ωx＋∈， 结合函数y＝cos x的图象如图所示： 则y＝cos x在原点右侧的零点依次为，，，，…，所以≤ω＋＜，解得≤ω＜，即ω的取值范围为.] 6．将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是(　　) A.∪ B. C.∪ D. 解析：A　[将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，得到y＝sin，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝sin， 由函数g(x)在上没有零点，则≥－，则T≥2π，由≥2π，可得0<ω≤1，假设函数g(x)在上有零点，则ωx－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，由<＋<，可得＋<ω<2k＋，k>－，k∈Z，又0<ω≤1，则ω∈∪，则由函数g(x)在上没有零点，且0<ω≤1，可得ω∈∪.] 7．(多选) (2024·山东临沂高三校考期末)若函数f(x)＝2sin＋1(ω＞0)在[0，π]上恰有三个零点，则(　　) A．ω的取值范围为 B．f(x)在[0，π]上恰有两个极大值点 C．f(x)在[0，]上有极大值点 D．f(x)在上单调递增 解析：AD　[由题可知，x∈[0，π]时，ωx－∈， 若函数f(x)＝2sin＋1(ω＞0)在[0，π]上恰有三个零点，根据三角函数图象性质可知≤ωπ－＜，解得2≤ω＜，即选项A正确； 由2≤ω＜可知，当2≤ω≤时，≤ωπ－≤，此时f(x)在[0，π]上只有1个极大值点； 当＜ω＜时，＜ωπ－＜，f(x)在[0，π]上恰有两个极大值点；所以B错误； 当x＝时，≤－＜， 不妨取ω＝2，此时－＝，即当x∈时，ωx－∈，由正弦函数图象性质可知f(x)在上没有极大值点；即C错误； 当x＝时，≤－＜，而＜， 所以当x∈时，ωx－∈，由正弦函数图象性质可知 f(x)在上单调递增，即D正确．] 8．(多选)设ω>0，函数f(x)＝则下列命题正确的是(　　) A．若f＝，则ω＝ B．若f(x)的值域为，则≤ω≤4 C．若函数f(x)在区间内有唯一零点，则ω∈∪ D．若对任意的x1，x2∈，且x1≠x2都有x1f＋x2f>x1f＋x2f恒成立，则<ω≤ 解析：BCD　[因为f(x)＝ 对于A，f＝sinω＝，所以ω＝＋2kπ或ω＝＋2kπ，k∈N，解得ω＝＋12k或ω＝＋12k，k∈N，故A错误； 对于B，若f(x)的值域为，当x∈时ωx∈，当x∈时 f(x)＝x－ω＋1且f＝×－ω＋1＝， 所以解得≤ω≤4，故B正确；对于C，若函数f(x)在区间内有唯一零点，①ω－<0又ω>0，即0<ω<时，当x∈时，ωx∈，此时0<ω<，所以函数在上单调递增，且sinω<sin<sin＝，当x∈时， f(x)＝x－ω＋1且f＝，即函数在上单调递减，此时函数必有且仅有一个零点，符合题意；②ω－>0，即ω>，则当x∈时f(x)＝x－ω＋1且f＝，即函数在上单调递增，即f(x)在上不存在零点，要使函数只有一个零点，f(x)在上有且仅有一个零点，故π≤ω<2π，解得4≤ω<8，综上可得 ω∈∪，故C正确；对于D：对任意的x1，x2∈，且x1≠x2都有x1f＋x2f>x1f＋x2f恒成立，即对任意的x1，x2∈，且x1≠x2都有>0恒成立，即f(x)在上单调递增，所以解得<ω≤，故D正确．] 9．(2024·山东日照高三统考期中)定义在R上的函数f(x)＝2sin(ω＞0)在区间内恰有两个零点和一个极值点，则ω的取值范围是　________. 解析：设函数f(x)的最小正周期为T， 由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点， 则－＝≤T，则T＝≥， 注意到ω＞0，解得0＜ω≤6， ∵x∈，则－≤－ω＋＜ωx＋＜ω＋≤， 由题意可得：解得4＜ω≤5，故ω的取值范围为. 答案： 10．(2024·大同期末)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________． 解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝ 2sin(ω>0)，由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为. 由题知，⊆， ∴ ∴6k－≤ω≤4k＋，k∈Z. ∵ω>0，∴当k＝0时，－≤ω≤， ∴0<ω≤，当k＝1时，≤ω≤；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅.∴ωmax＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$