第4章 课时冲关26 三角函数的图象与性质-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教A版）

课时冲关26　三角函数的图象与性质 对应学生用书　P244 [基础巩固练] 1．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f＝(　　 ) A．1　　　B.　　　 C．－1　　　D．－ 解析：A　[由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin ＝1.] 2．(2023·上海卷)已知a∈R，记y＝sin x在[a,2a]的最小值为sa，在[2a,3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是(　　) A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0 解析：D　[由给定区间可知，a＞0. 区间[a,2a]与区间[2a,3a]相邻，且区间长度相同． 取a＝，则[a,2a]＝，区间[2a,3a]＝，可知sa＞0，ta＞0，故A可能； 取a＝，则[a,2a]＝，区间[2a,3a]＝，可知sa＞0，ta＜0，故C可能； 取a＝，则[a,2a]＝，区间[2a,3a]＝，可知sa＜0，ta＜0，故B可能． 结合选项可得，不可能的是sa＜0，ta＞0.] 3．(2024·成都石室中学模拟)函数f(x)＝ 2sinsin图象的对称轴可以是(　　) A．直线x＝ B．直线x＝ C．直线x＝ D．直线x＝ 解析：A　[f(x)＝2sin sin＝2cossin ＝sin，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)，所以f(x)的对称轴为直线x＝－＋(k∈Z)，当k＝1时，x＝.] 4．(2024·长沙湘府中学校考)若α∈，则sin α，cos α，tan α的大小顺序是(　　) A．cos α＜tan α＜sin α B．tan α＜cos α＜sin α C．cos α＜sin α＜tan α D．sin α＜cos α＜tan α 解析：C　[当α∈，＜sin α＜1,0＜cos α＜，tan α＞1，则0＜cos α＜＜sin α＜1＜tan α，则cos α＜sin α＜tan α.] 5．(多选)(2024·山东日照高三统考期中)已知f(x)＝cos(sin x)，则下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＝f(x＋π) B．f(x)关于x＝π轴对称 C．f(x)关于中心对称 D．f(x)的值域为[－1,1] 解析：AB　[A中，因为f(x)＝cos(sin x)，所以f(x＋π)＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin x)＝ cos(sin x)＝f(x)，所以A正确；B中，由A可得f(x＋π)＝f(x)，f(－x＋π)＝cos[sin(－x＋π)]＝cos(sin x)＝f(x)，所以f(x＋π)＝f(－x＋π)，所以可得x＝π是函数的对称轴，所以B正确；C中，因为f＝cos＝cos(cos x)，而f ＝cos＝cos(cos x)＝f，所以对称轴为x＝，所以C不正确；D中，因为sin x∈[－1,1]，所以f(x)∈[cos(sin 1)，1]，所以D不正确．] 6．(2024·江苏苏州高三统考期末)若函数f(x)＝asin x＋cos x的图象关于直线x＝对称，则a＝___________. 解析：因为函数f(x)＝asin x＋cos x的图象关于直线x＝对称， 所以函数f(x)＝asin x＋cos x在x＝时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：f＝±，即a＋＝±， 整理得：3a2－2a＋1＝(a－1)2＝0，解得a＝. 答案： 7．(2024·聊城一模)若f(x)＝2sin(x＋φ)－cos x为奇函数，则φ＝________.(填写符合要求的一个值) 解析：f(x)＝2sin(x＋φ)－cos x＝2(sin xcos φ＋cos xsin φ)－cos x＝2cos φsin x＋(2sin φ－1)cos x，因为f(x)为奇函数，且y＝sin x为奇函数，y＝cos x为偶函数，所以2sin φ－1＝0，即sin φ＝，所以φ＝2kπ＋或φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可以是(答案不唯一，符合题意均可)． 答案：(答案不唯一，符合题意均可) 8．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ＝________. 解析：由题意知＝－＝，故T＝π，所以ω＝＝2，又因为f ＝1，所以sin＝1.因为|φ|＜，所以φ＝， 即f(x)＝sin. 故f ＝sin＝cos ＝. 答案： 9．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和对称中心的坐标； (2)求f(x)在上的单调递减区间． 解：(1)函数f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－·＝sin 2x－ cos 2x－＝sin－，所以函数f(x)的周期为＝π.令2x－＝kπ，k∈Z*，求得x＝＋，k∈Z，可得对称中心的坐标为，k∈Z. (2)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，可得函数的减区间为，k∈Z.又x∈，故函数的减区间为. 10．已知函数f(x)＝asin＋a＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)． (2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤，所以－≤sin≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，有所以a＝3－3，b＝5； ②当a<0时，有所以a＝3－3，b＝8. 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8. [能力提升练] 11．数学中一般用min{a，b}表示a、b中的较小值，关于函数f(x)＝min{sin x＋ cos x，sin x－ cos x}有如下四个命题： ①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)的图象关于直线x＝对称；③f(x)的值域为[－2,2]；④f(x)在区间上单调递增． 其中真命题的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　[设g(x)＝sin x＋ cos x＝2sin， h(x)＝sin x－cos x＝2sin， 则f(x)＝min{g(x)，h(x)} ＝ 函数f(x)的图象如图所示： 对①，由图可知，函数f(x)的最小正周期为2π，故①正确； 对②，由图可知，x＝为函数f(x)的对称轴，故②正确； 对③，f＝1，由图可知，函数f(x)的值域为[－2,1]，故③错误； 对④，f＝－2，f＝1，由图可知，函数f(x)在区间上单调递增，故④正确．综上，真命题的个数为3个．] 12．(2024·深圳中学模拟)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx－sin x，则f(x)(　　) A．f(x)在区间(0,2π)内有一个零点 B．f(x)在[0，π]上单调递减 C．f(x)在区间(0,2π)内有最大值 D．f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x 解析：C　[对于选项A，因为x∈(0,2π)，则∈(0，π)，可得sinx，cosx∈(0,1)， 则f(x)＝sinx－sin x＝sinx＞0，所以f(x)在区间(0,2π)内无零点，故A错误； 对于选项B，因为f(0)＝0，f(π)＝1，不满足f(0)＞f(π)，所以f(x)在[0，π]上不是单调递减，故B错误； 对于选项C，因为f′(x)＝cosx－cos x＝， 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 因此当x＝时，f(x)取得最大值f(x)＝，故C正确； 对于选项D，由选项C可得：f′(0)＝0，且f(0)＝0，因此f(x)图象在原点处的切线方程为y＝0，故D错误．] 13．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 解析：f(T)＝f(0)＝cos φ＝，且0＜φ＜π， 故φ＝， f＝cos＝0⇒ω＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝3＋9k(k∈Z)， 又ω＞0，故ω的最小值为3. 答案：3 14．(2023·北京卷)已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，ω＞0，|φ|＜. (1)若f(0)＝－，求φ的值； (2)若f(x)在上单调递增，且 f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求ω、φ的值． 条件①：f＝1； 条件②：f＝－1； 条件③：f(x)在上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为函数f(x)＝sin ωxcos φ＋ cos ωxsin φ，ω＞0，|φ|＜， 所以f(0)＝sin(ω·0)cos φ＋cos(ω·0)sin φ＝sin φ＝－， 因为|φ|＜，所以φ＝－. (2)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，ω＞0， |φ|＜， 所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω＞0，|φ|＜，所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在上单调递增，f＝1，所以f＝1无解，故条件①不能使函数f(x)存在； 若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1, 所以＝－＝π， 所以T＝2π，ω＝＝1， 所以f(x)＝sin(x＋φ)， 又因为f＝－1，所以sin＝－1， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝－. 所以ω＝1，φ＝－； 若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1， 即f＝－1.以下与条件②相同． 学科网（北京）股份有限公司 $$