第2章 课时冲关8 函数的奇偶性、周期性-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教A版）

课时冲关8　函数的奇偶性、周期性 对应学生用书　P209 [基础巩固练] 1．(2024·深圳六校联考一)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 B．∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 C．∃x∈R，f(x)≠f(－x) D．∀x∈R，f(x)≠f(－x) 解析：C　[A选项，f(x)＋f(－x)＝0，函数为奇函数，如f(x)＝x3＋x2，f(1)＋f(－1)≠0，故A错误；B选项，若f(x)＝它不是偶函数，不存在x∈R，使得f(x)＋f(－x)＝0，故B错误；C选项，如果不存在x∈R，使得f(x)≠f(－x)，说明对任意x∈R，f(x)＝f(－x)，函数为偶函数，不可能，因此C正确；D选项，如f(x)＝x3＋x2，它不是偶函数，但存在x＝0使得f(0)＝f(－0)，故D错误．] 2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．2 解析：D　[因为f(x)＝为偶函数，则 f(x)－f(－x)＝－ ＝＝0，又因为x不恒为0， 可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.] 3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：A　[偶函数的图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则是偶函数，若f(x)是奇函数，也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件．] 4．(2024·河南校联考)已知∀x∈R，函数f(x)都满足f(x)·f(x＋3)＝－2，又f(2)＝3，则f(11)＝(　　) A．3 B．－2 C．－ D．－ 解析：D　[根据题意，f(x)·f(x＋3)＝－2，且f(x)≠0，则f(x＋3)＝，f(x)＝，则f(x＋6)＝，故f(x＋6)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为6，所以f(11)＝f(5)＝＝－.] 5.(多选)(2024·济南模拟)济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数f(x)＝，其中a>0，则下列关于悬链线函数f(x)的性质判断正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的单调递减区间为(－∞，0) D．f(x)的最大值是a 解析：AC　[∵f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，A正确，B错误；又∵f′(x)＝在R上单调递增，且f′(0)＝0，则当x>0时，则f′(x)>0，当x<0时，则f′(x)<0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，C正确；则f(x)≥f(0)＝a，即f(x)的最小值为a，D错误．] 6．(多选)(2024·长春市第二中学校考期末)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　) A．函数f(x)的周期T＝2 B．f(2 023)＝f(2 024)＝0 C．点(1,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)在[－2,2]上有4个零点 解析：ABC　[由定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为T＝2，所以A正确； 由f(－1＋2)＝f(－1)，即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝0，且f(0)＝0， 又由f(2 023)＝f(1)＝0, f(2 024)＝f(0)＝0， 所以f(2 023)＝f(2 024)＝0，所以B正确； 由f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，可得点(1,0)是y＝f(x)图象的一个对称中心，所以C正确； 由f(x)在[－2,2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，所以函数f(x)在[－2,2]上有5个零点，所以D错误．] 7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数为________． ①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)； ②f(x)为偶函数． 解析：根据题意，若满足①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，常见函数为指数函数y＝ax，结合②的要求，可以考虑在y＝ax中，将x加绝对值即可，故f(x)＝3|x|符合题意． 答案：f(x)＝3|x|(答案不唯一) 8．(2024·福建漳州统考模拟)定义在R上的奇