第1章 课时冲关4 基本不等式-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教A版）

课时冲关4　基本不等式 对应学生用书　P204 [基础巩固练] 1．(2024·湖南桃江县第一中学校联考)若正实数a，b满足a＋2b＝1，则当ab取最大值时，a的值是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[因为正实数a，b满足a＋2b＝1，则a＋2b≥2，可得ab≤，当且仅当时，即当a＝2b＝时，等号成立．] 2．(2024·武汉二模)已知正实数x，y，则“x＋y＝1”是“＋≥4”的(　　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝等号成立，所以充分性成立；当x＝y＝时，＋≥4，此时x＋y≠1，所以必要性不成立．] 3．(2024·云南高二统考期末)已知x，y＞0，xy＝2x＋y，则x＋2y取得最小值时，x＝(　　) A. B.＋1 C．3 D.－1 解析：C　[∵x，y＞0，xy＝2x＋y， 则＝＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即当x＝y＝3时，等号成立．] 4．(2024·福建四地市质检一)已知a＞0，b＞0，且(a－2)(b－1)＝，则a＋2b的最小值为(　　 ) A．3＋ B．8 C．4＋ D．10 解析：D　[(a－2)(b－1)＝整理为：2ab＝5＋2(a＋2b)，由基本不等式得：2ab≤，即5＋2(a＋2b)≤，解得：a＋2b≥10或a＋2b≤－2，由于a＞0，b＞0，所以a＋2b≤－2舍去，从而a＋2b的最小值是10.] 5．(多选)(2024·云南昆明第十二中学校考)十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a＞0，b＞0，则下面结论正确的是(　　) A．若a＞b，则＜ B．若＋＝4，则a＋b有最小值 C．若ab＋b2＝2，则a＋b≥4 D．若a＋b＝2，则ab有最大值1 解析：ABD　[对于A，a＞b＞0， 则＞，即＜，A正确； 对于B，a＞0，b＞0，＋＝4，则 a＋b＝(a＋b)＝ ≥＝， 当且仅当＝，即b＝2a＝时取等号，B正确； 对于C，a＞0，b＞0，由ab＋b2＝2得：a＝－b＞0，有0＜b＜，则a＋b＝＞，C不正确； 对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝2，则ab≤2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，D正确．] 6．(多选)(2024·聊城一模)设0＜a＜b，且a＋b＝2，则(　　 ) A．1＜b＜2 B．2a－b＞1 C．ab＜1 D.＋≥3 解析：AC　[对于A，∵0＜a＜b，且a＋b＝2， ∴0＜2－b＜b，解得1＜b＜2，故A正确； 对于B，∵a＜b，即a－b＜0， ∴2a－b＜20＝1，故B错误； 对于C，∵0＜a＜b，且a＋b＝2，∴ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴ab＜1，故C正确； 对于D，∵0＜a＜b，且a＋b＝2，∴＋＝ (a＋b)＝≥ ＝(3＋2)， 当且仅当＝，即a＝2－2，b＝4－2时等号成立，∵(3＋2)－3＝＜0，∴(3＋2)＜3，∴D错误．] 7．(2024·山东菏泽联考模拟)已知θ∈(0，π)，则－cos2θ的最小值为______． 解析：θ∈(0，π)，0＜sin θ≤1， －cos2θ＝＋sin2θ－1≥ 2－1＝－1， 当且仅当＝sin2θ，即sin θ＝2－时取等号， 所以－cos2θ的最小值为－1. 答案：－1 8．若x＞2，则y＝的最小值为________________________________________________________________________． 解析：因为x＞2， 所以y＝＝ ＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝即x＝4时，取等号， 故y＝的最小值为6. 答案：6 9．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝30，求 (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解：(1)因为x＞0，y＞0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6取等号)，令＝t(t＞0)，则t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3，又t＞0， 所以0＜t≤3，即0＜≤3， 所以0＜xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝＞0,0＜x＜30. 2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥ 2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝即x＝2时取等号，所以2x＋y≥11， 所以2x＋y的最小值为11. 10．(2024·南平质检)2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，寓意福寿安康．故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧