专题11.4 解题技巧专题：反比例函数与三角形、四边形的综合问题之五大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

专题11.4 解题技巧专题：反比例函数与三角形、四边形的综合问题之五大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 1 【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 10 【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 18 【考点四 反比例函数与菱形的综合问题】 27 【考点五 反比例函数与正方形的综合问题】 37 【典型例题】 【考点一 反比例函数与三角形的综合问题】 例题：（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 2．（2023·黑龙江大庆·三模）如图，直线）与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为D，交直线l于点E，且．    (1)求反比例函数及直线l的表达式； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．    (1)求a和k的值； (2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点二 反比例函数与平行四边形的综合问题】 例题：（2023·广东佛山·三模）如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D． (1)点B的坐标为______． (2)点D是的中点吗？请说明理由； (3)连接，求四边形的面积． 【变式训练】 1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，四边形的面积是． (1)求点A，D的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，当直线经过点M时，请直接写出m的取值范围． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 3．（2024·河南南阳·一模）如图，四边形是平行四边形，原点O是其对角线的交点，轴，点，，反比例函数的图象经过点B，D． (1)求反比例函数的表达式和直线的表达式； (2)求图中阴影部分的面积之和； (3)已知点，过点P作平行于x轴的直线，交所在直线于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【考点三 反比例函数与矩形的综合问题】 例题：（2024·河南商丘·一模）如图，已知四边形是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点B的直线交反比例函数的图象于点E，交y轴于点F，若，求矩形的面积． 【变式训练】 1．（2023·河南郑州·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，反比例函数经过矩形的顶点，，对角线． (1)求反比例函数的解析式； (2)作出的垂直平分线，交于点，交于点；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 (3)连接，，判断四边形的形状，并证明． 2．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标． 3．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点．设直线的