专题19.7 能力提升专题：一次函数中折叠、规律、分段与新定义问题之四大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（人教版）

专题19.7 能力提升专题：一次函数的综合与新定义函数问题之四大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 一次函数中折叠问题】 1 【考点二 一次函数的规律探究问题】 12 【考点五 一次函数——分段函数】 19 【考点四 新定义型一次函数】 26 【典型例题】 【考点一 一次函数中折叠问题】 例题：（22-23八年级下·天津和平·期末）以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与轴，轴分别交于点和点，为线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．      (1)求，两点的坐标． (2)求直线的函数表达式． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求的函数表达式； (3)求折痕的长． 4．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知：有一张纸片，，．如图，将其放在平面直角坐标系中，点在线段上，点在线段上，将沿折叠得到（点与点重合）．    (1)求直线的表达式； (2)如图1，当点恰好落在点时，求的长； (3)当点固定在点时，交轴于点，设点为，当为直角三角形时，求满足的条件． 5．（22-23八年级上·陕西西安·期中）（1）【问题发现】中，，，，斜边上的高　　　　　； （2）【问题探究】如图①，将置于平面直角坐标系中，直角顶点与原点重合，点落在轴上，点落在轴上，已知，，是轴上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处；求点的坐标； （3）【问题解决】如图②，将长方形置于平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，已知，是上一点，将长方形沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，求所在直线的函数表达式．    【考点二 一次函数的规律探究问题】 例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…分别在x轴上，点，，，…分别在直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 2．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形，点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ． 3．（2023·山东青岛·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，， 【探究】 (1)点的坐标是______； (2)点的坐标是______； (3)点的坐标是______（为正整数）． 【考点五 一次函数——分段函数】 例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： x … -1 0 1 2 3 4 5 6 … y …  ﹣2  ﹣1  0      2  2  2 … （2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有　 　． ①函数图象关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变． （3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝　 　． 【变式训练】 1．我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质． （1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）通过观察图象，写出该函数的一条性质：　　； （3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象． 2．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝