第05讲 二次函数抛物线中角度和角度关系的存在性问题-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第5讲 二次函数抛物线中角度和角度关系的存在性问题（原卷版） 专题解读及题型预览 类型一 角度存在性问题 （一）特殊角30°，45°，90°存在性问题 （二）15°，75°角存在性问题 类型二 角度关系存在性问题 （1） 角度相等存在性问题 （2） 角度倍分关系存在性问题 （三）角度的三角函数值存在性问题 知识梳理及方法指引 1．角度的存在性问题 角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，在考试中主要以特殊角的存在性问题为主，特殊角通常包括15°、、、、75°、等． 几何法：利用（特殊）角度构造直角三角形，从边长比例关系进行求解． 工具： 角 、角 角 解析法：利用直线与抛物线的交点． 工具： 和角公式： 2倍角公式： 2．角度关系的存在性问题 角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题． 几何法：构造相似或全等三角形进行求解． 解析法：利用三角函数值进行求解． 和差关系 （） 等量关系 大小关系 转化为三角形全等或相似 找临界值，即找等量关系 典例剖析及针对训练 类型一 角度的存在性问题 （一）特殊角30°，45°，90°存在性问题 【典例1】（2023秋•渝中区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC与于D点，过点P作PE⊥AC交直线AC于点E，求PE+PD取得最大值时，点P的坐标及此时对应的最大值； （3）在（2）问前提下，将原抛物线沿射线AC方向平移个单位，新抛物线的对称轴与x轴交于点K，在直线AP上是否存在点G，连接KG，过G作线段GK的垂线交y轴于H，连接HK，使∠HKG＝30°．若存在，请直接写出点G的坐标． 【典例2】（2024•山西模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A（﹣3，0），OA＝OC，P是第三象限内二次函数图象上一动点，过点P作PG⊥AB于点G，交AC于点H． （1）求二次函数的表达式． （2）求PH的最大值． （3）如图2，过点H作AC的垂线，交y轴于点M，交二次函数图象的对称轴于点l，连接GM、GN，是否存在点P使得∠MGN＝45°，若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【典例3】（2024•随州模拟）如图，抛物线与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，其顶点D的坐标为（1，﹣4），P为抛物线上x轴下方一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若∠PCB＝∠ACB，求点P的坐标； （3）若直线yx+a与抛物线交于M，N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON＝90°，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【针对训练】 【针对例1】（2021•山西模拟）综合与探究． 如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于A，C两点，点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，直线l经过B，C两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若P为抛物线上一点，横坐标为m，过点P作PM⊥y轴于点M，交线段BC于点N，当N是线段BC的黄金分割点时，求点P到x轴的距离； （3）若将抛物线向上平移个单位长度，点D的对应点为D′，坐标轴上是否存在点Q，使∠BD′Q＝30°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【针对例2】（2023•自贡）如图，抛物线yx2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及B，C两点坐标； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标； （3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【针对例3】（2022•市中区模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（2，0），与y轴正半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D（﹣2，n）在抛物线上，点P在线段OA上，PG⊥x轴交直线OD于G，延长PG到点E，使EG＝PG，以PE为斜边在PE右侧作等腰直角△PEF．当点F正好落在抛物线上时，求P点的坐标； （3）直线yx+m与抛物线交于点M，N，是否存在实数m的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （二）15°，75°角存在性问题 【典例4】（2024•大同模拟）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线BC． （1）求点B的坐标及直线BC的表达式； （2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于