17.1勾股定理 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第1讲　勾股定理 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 勾股定理 已知直角三角形的两边长，求第三边长 √ √ 【知识框架】 勾股定理 勾股定理与最短路程 勾股定理与两点间距离公式 勾股定理 模块1　勾股定理 【知识精讲】 1、 勾股定理 直角三角形是一种特殊的三角形，有许多性质是其它三角形所没有的．今天我们就要学习一个关于直角三角形的最重要的性质——勾股定理，首先让我们看一下下面两组图形： （1） （2） a b a b b a b a b a a b b a a b c c c c c c c 如图，下面阴影部分是四个全等的直角三角形，直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，根据上面的图形，我们很容易得出下面的一组等式： 整理这些等式，得到：．这就是我们今天要学习的勾股定理的结论． 勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么． 勾股定理有着悠久的历史，早在公元前约三千年前的周朝就有“勾三，股四，弦五”的记载． 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．作为平面几何里最基础的定理之一，勾股定理对数学的发展提供了巨大的贡献，因此有数之不尽的后来学者对其进行了研究，勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理，由此可见勾股定理的地位和作用． 下面给出勾股定理另外两种常见证明方法： 如下图（左），，所以； 如下图（右），，所以． 【经典例题】 【例1】 在Rt△ABC中，若，，，求AB之长． 【例2】 在Rt△ABC中，若，，求AC之长． 【例3】 已知直角三角形的一直角边等于35cm，另外两条边的和为49cm，求斜边长． 【例4】 如图，将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和10 cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 【例1】 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为，则的取值范围为_____________． 【例5】 在△ABC中，AD为BC边上的高，点E是AD上任意一点，求证：． A B C D E 【例6】 已知：AD、BE、CF分别是锐角△ABC的三条边上的高，且三条高相交于一点H． 求证：． A D C B E F H 【例7】 在四边形ABCD中，已知，，，，求BC和AD的长． 【例8】 AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15米，求树高AB． B A C D 【例9】 如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（　　） A．175 B．575 C．625 D．700 【例10】 如图，分别以直角三角形的三边为斜边，在其三角形外作等腰直角三角形，其面积分别记为、、，则、、的关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【例11】 在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则_______． 【例12】 如图，设四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去． （1）记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，请求出的值； （2）根据以上规律写出的表达式． 【例13】 已知，△ABC为等边三角形，边长为a，求△ABC的面积． 【例14】 已知钝角三角形的三边为、、，求该三角形的面积． 【例15】 如图，点A处有一所中学，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ M N A 模块2　勾股定理与两点间距离 【知识精讲】 1、 勾股定理与两点间距离公式 在平面直角坐标系中，任意给定两点，．过点A、B分别向坐标轴作垂线，则，，由勾股定理可得，． 2、 勾股定理与最短距离 在立体图形中，往往会涉及到求某两点之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图，然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离． 【经典例题】 【例16】 在平面直角坐标系中，已知点、，则A、B两点之间的距离为________．