第六章平面向量及其应用习题课3解三角形的综合应用课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

习题课3 解三角形的综合应用 第六章 平面向量及其应用 一、平面几何中的解三角形问题 例题1 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴 , 𝐵 , 𝐶所对的边分别是𝑎，𝑏，𝑐 ，已知 (1)求角 𝐴 的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.若 𝑏=3，𝑐=4，𝐷 是 𝐵𝐶 边上的一点，且______，求线段𝐴𝐷的长. ①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的高； ②𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线； ③𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线. 【解析】(1) ， .由余弦定理，得 . ， . 2 一、平面几何中的解三角形问题 例题1 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴 , 𝐵 , 𝐶所对的边分别是𝑎，𝑏，𝑐 ，已知 (1)求角 𝐴 的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.若 𝑏=3，𝑐=4，𝐷 是 𝐵𝐶 边上的一点，且______，求线段𝐴𝐷的长. ①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的高； ②𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线； ③𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线. 【解析】(2) 选①： 是的高.在中，由余弦定理，得 ，所以 .由 ，得 . 选②： 是 的中线， ， 又 ， ， ， ， . 选③： 是 的角平分线. ， ，即 ，解得 . 3 反思感悟 方法总结 三角形长度和角度的计算是高考的热点，正确挖掘三角形中的几何条件简化运算是解题要点.注意发现图形中较隐蔽的几何条件，恰当应用正弦定理、余弦定理，对一般问题，只需通过解三角形便能解决. 4 新知运用 跟踪训练1 在中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且满足 . (1)求角 𝐴 的大小； (2)若 ， ， 是的角平分线，求的长. 【解析】(1) ， ， . ， ， ，又 ， ， ， ，即 . (2) 由 ，得 ， ，又 ， 由余弦定理，得 ， . ， ， . 5 二、三角函数与解三角形的综合 例题2 在中，角，，所对的边分别为 ， ， .已知 ， ， . (1)求角𝐶的大小； (2)求sin𝐴 的值； (3)求的值. 【解析】(1) 在 中，由余弦定理及 ， ， ，有 .又因为 ，所以 . (2)在 中，由正弦定理及 ， ， ，可得 . (3)由 及 ，可得 ，进而 ， .所以 . 6 反思感悟 方法总结 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 1.转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地将问题转化为三角函数的问题； 2.用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化； 3.得结论：利用三角函数诱导公式、三角内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等. 7 新知运用 跟踪训练2 已知函数 . (1) 求函数在上的单调递减区间； (2) 在锐角中，角， 的对边分别为，，，已知 ，，，求 的面积. 【解析】(1) ， 令 ， ，解得 ， ， 又 ， 函数 在 上的单调递减区间为 和 . (2)由(1)知 ，. 为锐角三角形， ， ， ，即 . 又 ， ， 8 三、解三角形的最值(或范围)问题 例题3 已知函数 . (1)求函数 𝑓(𝑥)的最大值，并写出当𝑓(𝑥)取最大值时𝑥的取值集合； (2)在中，角，，的对边分别为，，，若 ，，求的最小值. 【解析】(1)，当，即 时， ，此时 取得最大值，最大值为， 当取得最大值时，的取值集合为 . (2) 由(1)知，. ， ， ，解得 . 在中，由余弦定理得. , ，当 时取等号，即 ， 的最小值为 . 9 反思感悟 方法总结 在解答与解三角形有关的最值(取值范围)问题时，要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.在解题过程中，要搞清已知变量的取值范围，利用已知的取值范围进行求解，已知边的取值范围求角的取值范围时，可以利用余弦定理进行转化.把解三角形问题转化为函数问题进行解答过程中，也体现了数学运算素养的培养与渗透. 10 新知运用 跟踪训练3 设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. (1) 证明： ； (2) 求的取值范围. 【解析】(1) 由 及正弦定理，得 ，所以 .因为 为钝角，所以 为锐角，所以 ，