6.4.5平面向量的应用第5课时正弦定理、余弦定理应用举例课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4平面向量的应用 第六章 平面向量及其应用 课时5 正弦定理、余弦定理应用举例 探究一：测量距离问题 问题：如图所示， 𝐴 , 𝐵两点在河的两岸，在点𝐴的一侧，需测出哪些量，可以求出 𝐴 , 𝐵两点的距离? 情境设置 【解析】：测量者在点 𝐴 的同侧,在所在的河岸边选定一点 𝐶，测出 𝐴𝐶 的距离, ∠𝐵𝐴𝐶 的大小, ∠𝐴𝐶𝐵 的大小三个量. 2 新知生成 知识点一 测量距离 1.基线的概念与选择原则 (1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫作基线. (2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2.测量不可到达的两点间的距离，若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；若两点均不可到达，则需用3个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到. 3 一、测量距离问题 例题1 如图所示，在一岸边的，两点处分别看对岸标记物，测得， ，则_____________ . 【解析】由题意知， . 由正弦定理，得. 4 反思感悟 方法总结 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形. 5 新知运用 跟踪训练1 已知， 两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点，测得 ， ， ，则， 两点之间的距离为_____ . 【解析】由余弦定理，得 ， . 6 探究二：测量高度问题 问题：如图，要测出山上一座天文台的高，从山腰处测得 ，天文台最高处 的仰角为 ，天文台底部的仰角为，求天文台 情境设置 【解析】：由题图可得， ，故 . 7 新知生成 知识点二 测量高度 1.仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示). 2.视角：从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角 ，如图所示，视角指的是观察该物体的两端视线张开的角度. 8 二、测量高度问题 例题2 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的 𝐴 处测得水柱顶端的仰角为，沿向北偏东方向前进到达处，在处测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度是( ). A. 50m B. 100m C. 120m D. 150m 【解析】如图，设水柱高度是 ，水柱底端为 ，则在 中， ， ， ， ，根据余弦定理得， ，即 ，解得 或 (舍去)，故水柱 的高度是 . A 9 反思感悟 方法总结 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. 10 新知运用 跟踪训练2 满足某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则山的高度约为_____ .(精确到 ，参考数据： ， ) 【解析】如图，过点 𝐷 作 𝐷𝐸//𝐴𝐶 交 𝐵𝐶 于点 𝐸 ，因为 ， 所以 ，于是 . 又 ，所以 . 在 中，由正弦定理，得 . 在 中， . 所以山的高度约为 811 11 探究三：测量角度问题 问题：如图，你能用方向角表述图中的角吗? 情境设置 【解析】： 情境图中的方向角是北偏东，的方向角是北偏东 . 12 新知生成 知识点三 测量角度 1.方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 (如图1所示). 2.方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点 𝐵 的方位角为𝛼(如图所2 示).方位角的取值范围：. 13 三、测量角度问题 例题3 甲船在 𝐴 点发现乙船在北偏东 的 𝐵 处，乙船以每小时 𝑎 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里，问甲船应沿什么方向前进才能最快与乙船相遇? 【解析】设经过 小时两船在 点相遇，则在 中， ， ， .由 得 . ， ， . 甲船应沿北偏东 的方向前进才能最快与乙船相遇. 14 反思感悟 方法总结 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤： (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三 角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定