2.3 第二课时 一元二次不等式的综合问题 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二课时　一元二次不等式的综合问题 2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 [方法技巧] (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．　　 题型二　一元二次不等式的实际应用　 【学透用活】 [典例2]　某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3 m，AD＝2 m． 要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？ [方法技巧] 解不等式应用题的步骤 解决一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中哪些是未知量，然后选择未知量并设出此未知量，再概括题目中的不等关系列不等式．　　 【对点练清】 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ 解：设这批台灯的销售价定为x元， 则[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0， 因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20， 所以x2－30x＋200<0的解为10<x<20， 又因为x≥15，所以15≤x<20. 故应将这批台灯的销售价格制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入. 题型三　不等式恒成立问题　 【学透用活】 [典例3]　(1)若对∀x∈R，不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围； (2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围． [解]　(1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0， ∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，∴0<m<4， ∴m的取值范围为{m|0<m<4}． (2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立， ∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}． [方法技巧] 对于含参数的二次函数在闭区间上的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解．　　 【对点练清】 1．对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 2．已知不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，求a的取值范围． 解：∵不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)＜0，解得a＞2或a＜－2.故a的取值范围为{a|a>2或a<－2}． 1＜x＜3 {x|1＜x＜3} 无解 ∅ 二、应用性——强调学以致用 2．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率每降低x个百分点，收购量相应能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. [析题建模]　税率降低x个百分点(逻辑推理) ―→即调节后税率为(8－x)%(逻辑推理) ―→收购量能增加2x个百分点(数学运算) ―→此时总收购量为m(1＋2x%)吨(数据分析)―→原计划的78%即为2 400m×8%×78%. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十二）” (单击进入电子文档) “阶段验收评价”见“阶段验收评价（二）” (单击进入电子文档) 20 题型一　简单分式不等式的解法　 【学透用活】 [典例1]　解下列不等式： (1)<0； (2)≤1. [解]　(1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－4<x<，∴原不等式的解集为. (2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，∴原不等式的解集为. 【对点练清】 解下列不等式： (1)>1； (2)≥1. 解：(1)法一：原不等式可化为或解得 或∴－3<x<－，∴原不等式的解集为. 法二：原不等式可化为>0， 化简得>0，即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－. ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， 如图， 故原不等式的解集为. [解]　设DN的长为x(x＞0)m， 则AN的长为(x＋2)m. 因为＝，所以AM＝， 所以S矩形AMPN＝AN·AM＝. 由S矩形AMPN＞32，得＞32.又x＞0，得3x2