培优专题三 证明圆的切线两种常用思路-【练测考】2023-2024学年九年级下册数学（鲁教版五四制）

比罗教授不高兴地说:“你提的问题太多了! 你是个学生,上课时应该认真听老师讲,多记笔记,不要 胡思乱想,动不动就提问题,影响同学们学习!”(待续) 培优专题三　证明圆的切线两种常用思路 类型1　知半径证垂直 方法点津 在求证圆的切线时,若直线与圆有公共点,则 先连接圆心和公共点,再证明该半径垂直于直 线,即“连半径,证垂直”. 基 本 图 形 辅 助 线 连接圆心与切点,通过证明切线所在的三角形 与含90°角的三角形全等或相似来证垂直 结 论 OB⊥AB,AB 为☉O 的切线 角度1 借助角的转化证垂直 1.(北京中考)如图,AB 是☉O 的直径,CD 是 ☉O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD. (1)求证:∠BOD=2∠A; (2)连接DB,过点C 作CE⊥DB,交DB 的 延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F 为AC 的 中 点,求 证:直 线 CE 为 ☉O 的 切线. 2.(衡阳中考)如图,AB 为☉O 的直径,过圆上 一点D 作☉O的切线CD 交BA 的延长线于 点C,过点O 作OE∥AD 交CD 于点E,连 接BE. (1)直线BE 与☉O相切吗? 请说明理由; (2)若CA=2,CD=4,求DE 的长. 角度2 利用平行证垂直 3.(淄川一模)如图,四边形ABCD 为☉O 的内 接四边形,BD 为直径,AC 平分∠BAD,过 点C 作BD 的平行线,交 AD 的延长线于 点E. (1)求证:CE 与☉O相切; (2)求证:BC2=AB·DE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 第五章　圆 “这不是胡思乱想,也不是动不动就提问题.我的邻居,男的身体非常强壮,可他的妻子一连生了5个 女儿.这与老师讲的正好相反,这该怎么解释?”(待续) 4.(菏泽中考)如图,在△ABC 中,以AB 为直 径作☉O 交AC,BC 于点D,E,且 D 是AC 的中点,过点 D 作DG⊥BC 于点G,交BA 的延长线于点H. (1)求证:直线 HG是☉O的切线; (2)若 HA=3,cosB=25 ,求CG的长. 角度3 利用勾股定理逆定理证垂直 5.如图,AB 为☉O的直径,点P 为AB 延长线 上一点,点C为☉O上一点,PC=8,PB=4, AB=12,求证:PC是☉O的切线. 类型2　作垂直证半径 方法点津 在求证圆的切线时,若直线与圆的公共点未明 确,则常过圆心先作直线的垂线段,再证明垂 线段与半径相等,即“作垂直,证半径”. 基 本 图 形 辅 助 线 过圆心作垂线,通过角平分线的性质、三角形 全等等方法证明垂线段等于半径 结 论 OB=OC,AB 为☉O 的切线 6.(德州中考)如图1,在等腰三角形ABC 中, AB=AC,O 为底边BC 的中点,过点 O 作 OD⊥AB,垂足为D,以点O 为圆心,OD 为 半径作圆,交BC于点M,N. (1)AB 与☉O的位置关系为 ; (2)求证:AC是☉O的切线; (3)如图2,连接DM,DM=4,∠A=96°,求 ☉O的直径.(结果保留小数点后一位.参考数 据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈ 0.45) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 练测考　九年级数学　下册　LJ 6.2 解析:由勾股定理,得斜边长为13,则根据切线长定理, 可得内切圆半径为5+12-13 2 =2. 7.解:(1)由切线长定理,得PA=PB, 又∵∠APB=60°, ∴△APB是等边三角形, ∴∠BAP=60°, 由切线的性质,得∠PAC=90°, ∴∠BAC=90°-∠BAP=30°. (2)如图,作OD⊥AB于点D, 则AD=BD=12AB. 由(1)得△APB是等边三角形, ∴AB=PA=1,∴AD=12. ∵∠BAC=30°, ∴AD= 3OD=12 ,∴OD= 36 , 即点O到弦AB 的距离为 36. 8.B 解析: