提练第8招构造平行四边形解题的六种应用类型习题课件 2023—2024学年浙教版数学八年级下册

第8招 构造平行四边形解题的六种应用类型 习题课件 典 例 剖 析 例 解题秘方：证明OE是△ACD的中位线，进而根据平行四边形的判定定理进行判定. 类型 证两线段相等 1 分 类 训 练 1.如图，B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE， AB＝DE，BE＝CF.求证：AC＝DF. 证明：连结AD. ∵AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD∥BE，AD＝BE.∵BE＝CF，∴AD＝CF. 又∵AD∥CF， ∴四边形ACFD是平行四边形．∴AC＝DF. 分 类 训 练 2.如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，E，F分别是OA，OC上的点且AE＝CF.求证：BE＝DF. 证明：如图，连结DE，BF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC.∵AE＝CF，∴OE＝OF. 又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形． ∴BE＝DF. 分 类 训 练 3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O.求证：O是BD的中点． 证明：如图，连结BF，DE. ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AD∥BC. ∵AF＝CE，∴DF＝BE. 又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形． ∴OB＝OD，即O是BD的中点． 类型 证两线段互相平分 2 分 类 训 练 4. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN＝BM.求证：EF与MN互相平分． 证明：如图，连结MF，FN，NE，EM. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，∴AE⊥AD. ∵CF⊥AD，∴AE∥CF. 又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形． ∴AF＝CE.∴BE＝DF. 又∵BM＝DN，∠B＝∠D， ∴△BEM ≌△DFN(SAS)．∴EM＝FN. 同理可证MF＝NE. ∴四边形MENF是平行四边形． ∴EF与MN互相平分． 分 类 训 练 5. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AG为BC边上的中线，DE，AG相交于点O，求证：AG与DE互相平分． 证明：如图，连结DG，EG. ∵D，E分别是AB，AC的中点，AG为BC边上的中线， ∴DG∥AC，EG∥AB， ∴四边形ADGE为平行四边形， ∴AG与DE互相平分． 分 类 训 练 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连结DE，DF，EF，AE，DE与AF交于点O. (1)求证：AF与DE互相平分； (2)若AB＝8，BC＝12，求DO的长． 分 类 训 练 7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠ADC＝2∠ABC.求证：AB＝AD＋CD. 类型 证线段的和差关系 3 证明：如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E， ∴∠ABC＝∠1. ∵AB∥CD，DE∥BC， ∴四边形DEBC是平行四边形． ∴∠ABC＝∠CDE，CD＝BE. 又∵∠ADC＝2∠ABC， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠ABC＝∠1. ∴AD＝AE.∴AB＝AE＋EB＝AD＋CD. 分 类 训 练 8.如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，则AD的取值范围是___________． 1＜AD＜7 类型 求线段的取值范围 4 分 类 训 练 9. 类型 解决面积问题 5 分 类 训 练 10.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，交CD于点H，交AD的延长线于点F，且AB＝AC，∠BAC＝36°. (1)求∠AEB的度数； 类型 判断三角形的形状 6 (2)判断△AEF是否是等腰三角形？并说明理由． 解：△AEF是等腰三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠ABC＋∠BAD＝180°. 又∵∠ABC＝72°， ∴∠BAD＝180°－∠ABC＝180°－72°＝108°. ∵∠BAC＝36°， ∴∠EAF＝108°－∠BAC＝108°－36°＝72°. 又∠AEB＋∠AEF＝180°且∠AEB＝108°， ∴∠AEF＝180°－∠AEB＝180°－108°＝72°， ∴∠EAF＝∠AEF＝72°， ∴AF＝EF， ∴△AEF是等腰三角形． 如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是AD的中点，点F在CD的延长线上，且DF＝CD，连结OE，EF. 求证：四边形ODFE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. ∵AE＝DE，∴OE是△ACD的中位