第14讲 回归分析（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第14讲 回归分析 【人教A版2019】 ·模块一 一元线性回归模型 ·模块二 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 ·模块三 课后作业 模块一 一元线性回归模型 1．回归分析 对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性. 2．一元线性回归模型 把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称 为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 【考点1 解释回归直线方程的意义】 【例1.1】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是（    ） A．为回归直线的斜率 B．，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少 C．是唯一确定的值 D．回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位 【例1.2】（2024·浙江·模拟预测）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·辽宁·期末）下列有关回归分析的说法正确的是（    ） A．样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强. B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线. C．回归直线方程不一定过样本中心点. D．回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系. 【变式1.2】（22-23高二下·辽宁大连·期末）根据以下样本数据： 1 3 5 7 6 4.5 3.5 2.5 得到回归直线方程为．则（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点2 由散点图画求近似回归直线】 【例2.1】（23-24高二下·河南·阶段练习）变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二·全国·课后作业）如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.2】（23-24高一·江苏·课时练习）在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数系的是（    ） A． B． C． D． 模块二 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 1．线性经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+ (i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线 y=bx+a的“整体接近程度”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方 程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二 乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. 经验回归直线一定过点(,). 2．残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减 去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 3．刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)利用刻画拟合效果 =. 越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差. 4．回归分析的三大常用结论 (1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心. (2)根据经验回