新高考新结构 大题压轴01 数列新定义-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学压轴题满分冲刺

新高考新结构大题压轴01 数列新定义 一、解答题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则． (1)求和（用表示）； (2)令，证明：； (3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得． 2．（2024·浙江温州·二模）数列满足：是等比数列，，且． (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由． 3．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.    (1)求; (2)求证:; (3)如果满足方程，求的值. 5．（2024·全国·模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”： ①；②. (1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）； (2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）； (3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 6．（2024高三·全国·专题练习）设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列. (1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明； (2)已知数列为“好”数列，其前项和为. ①若，求数列的通项公式； ②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：. 7．（2024·湖南岳阳·二模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”． (1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”； (2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； (3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”； （ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个． 8．（2024·辽宁大连·一模）对于数列，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束． (1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列： (2)若不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由； (3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值． 9．（23-24高三下·江苏南通·模拟预测）设正整数，有穷数列满足，且，定义积值 (1)若时，数列与数列的S的值分别为， ①试比较与的大小关系； ②若数列的S满足，请写出一个满足条件的 (2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明； (3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明. 10．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·模拟预测）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵． (1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求； (2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且． （i）求； （ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 11．（23-24高三下·安徽·模拟预测）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若，求数列的最小项； (2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质． 12．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）． (1)求数列的前项和； (2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明： ①对任意且，存在“-数列”，使得成立； ②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立． 13．（2024·河南信阳·一模）定义：已知数列满足． (1)若，，求，的值； (2)若