7.3.2离散型随机变量的方差课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差 复习回顾 1、离散型随机变量的数学期望 2、数学期望的性质 ··· ··· ··· ··· 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 3、如果随机变量X服从两点分布为 X 1 0 P p 1－p 则 复习回顾 4.离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 5.均值的性质： 6.随机变量X服从两点分布，则有 问题引入 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平？ 通过计算可得，，.因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 新知探索 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下图分别是和的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 新知探索 思考1：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 设离散型随机变量的分布列如表所示. 新知探索 考虑所有可能取值与的偏差的平方，，，.因为取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概念的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 新知探索 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为： 新知探索 因为(等价地，)，所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化. 新知探索 方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质. 问题3：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又会有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即. 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即. 一般地，可以证明下面的结论成立： . [例1] 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要 1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要 2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止.令X表示走出迷宫所需的时间.求X的分布列、均值和方差. 例析 例析 例析 方法技巧： 求离散型随机变量的方差的一般步骤 (1)理解的意义，明确其可能取值； (2)判定是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤； (3)写取每个值的概率； (4)写出的分布列，并利用分布列性质检验； (5)根据方差定义求. [例2] 已知X的分布列如表: (1)求X2的分布列,并计算X2的方差; (2)计算X的方差; (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. 解:(3)因为Y=4X+3, 所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11. 例析 方法技巧： 关于方差性质的四点说明 (1)当时，，即常数的方差等于0. (2)当时，，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当时，，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随