专题10 圆的相关概念和定理（4大易错点分析）-备战2024年中考数学考试易错题（天津专用）

专题10圆的相关概念和定理 易错点一：垂径定理及其应用 垂径定理：垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推广：“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O； ④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角； 易错提醒：垂径定理是圆中求线段长的重要定理，垂直于弦的直径也可以是满足条件的半径、弦心距。 例1（2024·天津滨海新·一模）如图，A是的直径，弦于点，连接，，则弦的长为(   ) A．6 B． C．12 D． 例2（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，    求(1) (2)的半径． 1．（23-24九年级上·天津西青·期中）如图，在中，弦，，垂足为C，，则的半径为（    ）   A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）如图，中，是直径，弦，若，则的大小是 ． 3．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且． (1)求和度数大小； (2)若，求和的长． 4．（23-24九年级上·天津河东·期末）已知是的直径，弦于点E，连接． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，G是弧上一点，的延长线交于点F，若，求的度数． 5．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图1，在中，，，以为直径的与相交于点．过点的切线与相交于点． (1)求和的度数； (2)如图2，过点作于点，过点作于点，交于点和．若，求的长． 6．（23-24九年级上·天津和平·期中）已知，是直径，半径经过弦的中点． (1)如图①，连接，，若，求和的大小； (2)如图②，连接并延长交的延长线于点，若，求的大小． 易错点二：圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等 圆中模型“知1得4” 由图可得以下5点： ①AB=CD；②；③OM=ON； ④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。 易错提醒：圆周角定理的前提条件需在在同圆或等圆中。同时，圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°； 例1（22-23九年级上·天津河西·期末）如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（　  　） A． B． C． D． 例2（2024·天津滨海新·一模）如图，是的直径，弦与相交于点P，若． (1)如图①，求的度数； (2)如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点E，若，求的度数． 1．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，是的外接圆，的半径为3，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·天津西青·期末）如图，四边形内接于，，点是的中点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，是的直径，弦于点E,点F是上一点，．    (1)求的度数； (2)若,求的长． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，·在每个小正方形的边长为1的网格中，圆经过格点A,B,与格线交于点C． (1) （度）． (2)若点D在圆上，满足，请利用无刻度的直尺，在圆上画出点P,使,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 7．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，是的直径，弦与相交，       图①                      图② (1)如图①，若,求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点P,若,求的度数． 易错点三：圆内接四边形 圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补； 推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角； 易错提醒：对角互补并不是任何一个四边形所具有的性质。 例1（23-24九年级上·天津西青·期末）如图，四边形内接于，，点是的中点，连接，若，则的度数是（   ） A． B