4.1一元二次函数课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 课标要求 素养要求 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 从函数的观点认识方程，感悟数学知识之间的联系，重点提升数学抽象与数学运算素养. 新知探究 如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24 m，最高点离水面8 m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系. 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质   a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象 性质 对称轴 直线________ 顶点 ________ x的取值范围 (－∞，＋∞)或R y的取值范围 [k，＋∞) (－∞，k] 函数值的变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小 最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝k x＝h时，y有最大值，ymax＝k x＝h (h，k) 3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.( ) 提示　交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0的根. × × √ √ [微训练] (2)对称轴x＝4，在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大；在[4，＋∞)上，y随x的增大而减小.函数值y在x＝4处取得最大值14. [微思考] 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解有关系吗？如何判断？ 提示　b2－4ac>0⇔方程有两个不等的解⇔函数图象与x轴有两个交点，b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的解⇔函数图象与x轴有1个交点，b2－4ac<0⇔方程没有实数解⇔函数图象与x轴没有交点. 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象可由y＝ax2(a≠0)图象经过怎样的变化而得到？(h>0，k>0) 提示　y＝ax2图象向右平移h个单位长度，得到y＝a(x－h)2的图象，然后整个图象再向上平移k个单位长度得到y＝a(x－h)2＋k的图象. 题型一　待定系数法求二次函数解析式 【例1】　用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)已知二次函数的图象过点(－2，20)，(1，2)，(3，0)； (2)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，且图象过点(2，25)； (3)已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，且图象过点(－1，8). 解　(1)设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将(－2，20)，(1，2)，(3，0)分别代入解析式， ∴所求二次函数的解析式为y＝x2－5x＋6. (2)∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2(a≠0). ∵图象过点(2，25)， ∴a(2＋1)2－2＝25，解得a＝3， ∴所求二次函数的解析式为y＝3(x＋1)2－2， 即y＝3x2＋6x＋1. (3)∵二次函数图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)， ∴设所求二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0). 又∵图象过点(－1，8)， ∴8＝a(－1＋2)×(－1－3)，解得a＝－2， ∴所求二次函数的解析式为y＝－2(x＋2)(x－3)， 即y＝－2x2＋2x＋12. 规律方法　二次函数常见解析式的形式有三种：一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解析式能起到事半功倍的效果.一般地，若已知函数图象经过三点，常设一般式；若题目中给出顶点坐标、最大值、对称轴等信息，常考虑顶点式；若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标，可设两根式. 【训练1】　已知二次函数的图象过点(1，4)，且与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，求二次函数的解析式. 解　法一　设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将(1，4)，(－1，0)，(3，0)分别代入上式，得 ∴y＝－x2＋2x＋3. 法二　设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)·(x－3)(a≠0). 将(1，4)代入上式，得a＝－1， ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. 题型二　二次函数的增减性与最值 【例2】　(1)已知函数y＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数y的最小值. (2)已知函数y＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式y>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围