云南省昭通市市直中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

昭通市市直中学2024年春季学期高一年级第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，则是（ ） A． B． C． D． 3．已知实数，则函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 4．已知的三个内角所对的三边分别为，则“”是“为等腰三角形”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 6．四边形是正方形，分别的中点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，且的面积，则（ ） A． B． C．2 D． 8．已知函数的定义域为，且满足，且，，则（ ） A．2024 B．1 C．0 D． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知是边长为2的正六边形内一点，则的值可以是（ ） A． B．0 C．4 D．6 11．下列叙述正确的是（ ） A．若幂函数的图象经过点，则该函数在上单调递减 B．命题“”的否定是“” C．函数的单调递增区间为 D．函数与函数互为反函数 12．已知函数，若的图象过，三点，其中点为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数的定义域是___________。 14．已知，则___________。 15．已知向量满足在方向上的投影向量为，则的最小值为___________。 16．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的陦想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即）．不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前既不能证明，也不能否定．现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则的所有不同值的个数为___________。 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） （Ⅰ）化简：； （Ⅱ）． 18．（本小题满分12分） 如图，在中，是的中点，设． （Ⅰ）试用表示； （Ⅱ）若与的夹角为，求． 19．（本小题满分12分） 已知． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）中，角所对边分别为，且． ①求角的大小； ②若为锐角三角形，且，求的最大值． 20．（本小题满分12分） 某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度（单位：）与该路段上的行车数量（单位：辆）的关系为：，其中常数，该路段上每日时的行车数量，已知某日17时测得的平均行车速度为． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）定义，求一天内的最大值（结果四舍五入到整数）． 21．（本小题满分12分） 记的内角的对边分别为，已知． （Ⅰ）当角最大时，求其最大值并判断的形状； （Ⅱ）若为中点且，求面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 设函数的定义域为，集合． （Ⅰ）若，求证：； （Ⅱ）若，若，求实数的取值范围； （Ⅲ）设．讨论函数与集合关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$