四大数学思想 课件-2024届高三数学二轮复习

四大数学思想 √ √ √ √ √ √ √ √ 高考命题中,以知识为载体,以能力立意、思想方法为灵魂,以核心素养为统领,兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性,展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合,二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数学的意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等. 一、函数与方程思想 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解.方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃,有时,还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到解决问题的目的. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的. 应用一 建立函数关系解决最值问题 [例1] 某圆锥母线长为2,底面半径为eq \r(3),则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( ) A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.1 [解析] 如图所示,作出截面 SMN,其中S为圆锥顶点,O为底面圆圆心,P为MN的中点,连接PO并延长,交圆锥底面圆于点B,连接SO,SP. 由题意知SB=2,OB=eq \r(3),设OP=x(0≤x<eq \r(3)). 在Rt SOB中,SO=eq \r(SB2-OB2)=1. 在Rt SOP中,SP=eq \r(SO2+OP2)=eq \r(12+x2). 连接OM,则MN=2eq \r(OM2-OP2)=2eq \r( \r(3) 2-x2), 故 SMN的面积=eq \f(1,2) MN SP=eq \f(1,2) eq \r(x2+1) 2eq \r(3-x2)=eq \r(- x2-1 2+4). 所以当x=1时, SMN的面积最大,为2.故选A. [答案] A 本题求面积的最值时,设OP=x,从而构造关于x的函数求解,利用二次函数求最值的思想解决问题.此题有意识地凸现其函数关系,进而用函数思想或函数方法研究、解决问题,不仅能获得简便的解法,而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平. [变式训练] 1.甲、乙两人进行象棋比赛(没有平局),采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中,甲获胜的概率为p,0<p<1.则甲以3∶1获胜概率的最大值为_. [解析] 甲以3∶1获胜,则前三局中甲要胜两局败一局,第四局甲再获胜,若所求概率用f(p)表示, 则f(p)=Ceq \o\al(2,3) p2 (1-p) p=3p3-3p4,0<p<1, 则f′(p)=9p2-12p3=3p2(3-4p).令f′(p)>0,得0<p<eq \f(3,4); 令f′(p)<0,得eq \f(3,4)<p<1.所以f(p)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,4)))上单调递增,在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4),1))上单调递减,所以当p=eq \f(3,4)时,f(p)取得最大值为eq \f(81,256). [答案] eq \f(81,256) 2.自行车运动是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径为eq \r(3), ABE, BEC, ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑行过程中,eq \o(AC,\s\up16( )) eq \o(BP,\s\up16( ))的最大值为_. [解析] 在骑行过程中,A,B,C,D,E五点相对不动,只有点P绕点D做圆周运动,如图,以E为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,由题意得A(-4,0),B(-2,2eq \r(3)),C(2,2eq \r(3)),D(4,0),圆D的方程为(x-4)2+y2=3.连接DP,设以Dx为始边,沿逆时针方向旋转,以DP为终边的角为 ,则P(4+eq \r(3)cos ,eq \r(3)sin ),则eq \o(AC,\s\up16( ))=(6,2eq \r(3)),eq \o(BP,\s\up16( ))=(6+eq \r(3)cos ,e