2.4 角形中位线定理的常见应用 同步课件 2023～2024学年湘教版八年级数学下册

第2章 四边形 专题提升 三角形中位线定理的常见应用 1 类型一 利用三角形中位线定理求线段长 方法指导 当已知条件中含有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时， 我们常常运用三角形中位线定理来得到线段之间的关系，进而求出线 段的长. 2 图1 例1 [2022·西宁] 如图1，在中， ， ，，分别是，的中点，点在 上， 且 ，则 的长为___． 思路点拨 3 解点，分别是， 的中点， 是 的中位线. , ． ，是的中点， , . ． 图1 4 图1 例1 [2022·西宁] 如图1，在中， ， ，，分别是，的中点，点在 上， 且 ，则 的长为___． 5 1.如图2，在中，，，， 分别是，的中点，平分，交 于点 ．则 的长为( ) . A.1 B.2 C.3 D.4 图2 提示：，分别是， 的中点，， ，平分， . A 6 类型二 利用三角形中位线定理证两条直线平行 方法指导 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的平行关系， 因此在涉及与中点有关的平行线的证明问题中，通常可构造三角形的 中位线来解题. 图3 例2 如图3，已知在中，是的中点， 平分 ，于点，连接.求证： . 7 思路点拨 图3 8 图4 证明 如图4，延长交于点 . 平分， ， ， . 在和 中， . . 9 又是 的中点， 是 的中位线. . 图4 图5 2.如图5，，，，分别是，，， 的中 点. 求证：四边形 是平行四边形. 证明：连接. 在中，，分别是， 的中点， ，. 在中， ，分别是，的中点， ， ， 四边形 是平行四边形. 11 类型三 利用三角形中位线定理证线段倍半关系 方法指导 由于三角形中位线的长等于第三边长的一半，因此当需要证明某 一条线段是另一条线段的一半或两倍，且已知条件中含有中点时，常 考虑运用三角形中位线定理进行解答. 图6 例3 如图6，已知在中，， 于点，为的中点.求证： . 12 图6 思路点拨 思路一：要证明线段间的倍数关系，且已 知为的中点，可取的中点，连接 ，构造中 位线. 思路二：已知条件中含有垂直关系和中点，可以 取的中点，连接， 构造直角三角形斜边的中线，来证得线段的倍 数关系.（请同学们完成思路二的证明） 13 图7 证明 如图7，取的中点，连接，，则 为 的中位线. ， . ， . ， . 在中，是斜边 的中点， . 14 . 又 ， . . . 图7 图8 3.如图8，在中，是边上的中线，为 的 中点，延长交于点.求证： . 证明：取的中点，连接 为的中点， ， 为 的中点， . Q 16 在和 中， . 图8 Q 类型四 利用三角形中位线定理探究三角形周长或面积的变化 规律 方法指导 如图9，是的中位线，则 ， . ______________________________ 图9 18 图10 例4 如图10，在中， ， ，；依次连接 的三边中 点，得到；依次连接 的三边中 点，得到 按这样的规律进行下去， 的周长为______. 思路点拨 根据已知条件，需要先求出 ，， 的周长，再探究规律，最后得出结果.， 的周长由三角形中位线定理可求. 19 ，，是 三边的中点， ， ， . 的周长为 . 同理可得， 的周长为 . 的周长为 . 的周长为 . 图10 20 图10 例4 如图10，在中， ， ，；依次连接 的三边中 点，得到；依次连接 的三边中 点，得到 按这样的规律进行下去， 的周长为______. 21 图11 4.如图11，在四边形中，， ， 且.顺次连接四边形 各边的中点， 得到四边形；顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 如此进 行下去，得到四边形 .则四边形 的面积为_____. 22 图11 提示：四边形的面积为 .由三角形中位线 定理可推出，每得到一个新四边形，它的面积为 原四边形面积的一半，所以四边形 的面 积为 . 23 图11 4.如图11，在四边形中，， ， 且.顺次连接四边形 各边的中点， 得到四边形；顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 如此进 行下去，得到四边形 .则四边形 的面积为_____. 24 $$