空间中的平行与垂直 课件-2024届高三数学二轮复习

空间中的平行与垂直(重点) 考点一 √ √ √ √ √ 考点二 √ 考点三 [解题必备] 1．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(唯一性) 2．经过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(唯一性) 3．如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．(线∥面⇒线∥线) [题组通关] 1．已知直线l与平面α相交于点P，则下列结论中不正确的是(　　) A.α内不存在直线与l平行 B．α内有无数条直线与l垂直 C．α内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与α垂直的平面 C　[直线l与平面α相交于点P，故α内不存在直线与l平行，A对． 若l⊥α，则α内的所有直线与l垂直；若l与α不垂直，设与l在平面α内的射影垂直的直线为n，则平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，B对． 平面α内过点P的直线与l相交，C错． 若l⊥α，则过l的任一平面与α垂直；若l与α不垂直，取l上异于点P的一点Q，过Q作QM⊥平面α于点M，则平面PQM⊥α，D对．综上所述，选C.] 2.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 B　[取CD的中点F，DF的中点G， 连接EF，FN，MG，GB，BD，BE. ∵点N为正方形ABCD的中心， ∴点N在BD上，且为BD的中点． ∵△ECD是正三角形， ∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD， ∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN. 不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝ eq \r(3) ， ∴EN＝ eq \r(FN2＋EF2) ＝2. ∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF， ∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG. ∵MG＝ eq \f(1,2) EF＝ eq \f(\r(3),2) ， BG＝ eq \r(CG2＋BC2) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22) ＝ eq \f(5,2) ， ∴BM＝ eq \r(MG2＋BG2) ＝ eq \r(7) .∴BM≠EN.∵BM，EN是△DBE的两条中线，∴BM，EN必相交．故选B.] 3．(多选)下列关于点、线、面的位置关系的命题中不正确的是(　　 ) A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合 B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 C．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线 D．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面 ABC　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A，D，E三个点在一条直线上，平面ABCD与平面ADD1A1相交，不重合，故A不正确；从点A出发的三条棱AA1，AB，AD不在同一平面内，故B不正确；若a∥b，则a，b确定一个平面，且a，b分别与直线c，d的交点都在此平面内，则c，d共面，与c，d是异面直线矛盾，所以直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线(c，d中的一条直线过a，b的交点)，故C不正确；平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因为直线A1C交平面AB1D1于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为A，M，O三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故D正确．故选ABC.] 判断与空间位置关系有关命题真假的4种方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断； (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定； (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断； (4)判断空间两条直线是否相交，首先判断两直线是否共面. [解题必备] 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂