导数、函数与不等式 课件-2024届高三数学二轮复习

导数、函数与不等式（重难点） 考点一 [典题研磨] [例1](2023山东聊城三模)已知函数(x)=(m十1)x一mlnx一m.求证：当 m≤1，且x>1时，fx)e1 [证明]要证fx)<e,即证e1-mx-1)>x一mlnx,即证el-mx 1)>ex-mlnx. 分g(x)=x-1-lnx,x≥1， 则g)=1≥0 所以gx)在区间(1，十∞)上单调递增，所以x>1时，gx)>g(1)=0,即 x>1时，x-1>lnx. 合hx)=e-mx,x>0,则h'x)=e-m>0在m≤1时恒成立， 所以m≤1，且x>0时，hx)单调递增 因为x>1时，x-1>0,lnx>0,且x-1>lnx, 所以m≤l,且x>1时，hx-1)）>h(lnx), e*1-m(x-1)>ex-mln x. 所以m≤1，且x>1时，fx)<e -反思提升 构造辅助函数的4种方法 证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题 移项浅转化为证明(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0）, 进而构造辅助函数h(x)=fx)-g(x) 对原不等式同解变形，如移项、通分、取对 构造浅 数；把不等式转化为左右两边是相同结构的 式子，根据“相同结构”构造辅助函数 主元法 对于（或可化为）f(x12)≥A的不等式，可选 (或)为主元，构造函数f(x2x)(或f(x1x)月 放缩法 若所构造函数的最值不易求解，可将所证明的 不等式进行放缩，再重新构造函数 [押题演练] 已知函数)=xe-bnx一2b∈R),其图象在点(1，f)处的切线斜 率为2e-3. 证明：当>1时，f)Pre-2+1. [证明1由f)=xe-bxnx-2可得f'()=c+1)e-bnx+1)-x 因为函数fx)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2e一3， 所以f'(1)=2e-b-1=2e-3,解得b=2, 当o1时，f>xe-22+1等价于2-2xnx-1>0,即x-21nx-0, 合P=x-2nx- 则F'创=1一2+=气0在.十一上恒成立 所以函数FGx)在区间(1，十∞)上单调递增， 所以当1时，F)>F)=1-2n1-=0. 所以当1时.feAe-+1. 考点二 [典题研磨] [例2](2023北京东城二模)已知函数x)=e sinx-2x. (1)求x)在区间[-1,1]上的最大值； (2)设实数a使得fx)十x>ae对x∈R恒成立，写出a的最大整数值，并说明 理由 [解](1)因为yx)=c'sinx-2x,所y'(x)=e'(sinx+cosx)-2, g(x)=f'(x)=e'(sinx+cosx)-2. 则g'(x)=2 e'cos x,当xE[-1,1]时，g'(x)>0,gw)在[-1,1]上单调递 增。 因为g(0)=-1<0,g(1)=e(sin1+cos1)-2>0,所以3xoE(0,1),使得 g(xo)=0. 所以当xE(-1,xo)时，f'x)<0,fx)单调递减； 当xE(co,1)时，f'(x)>0,fx)单调递增， 1)=csn1-2<e-2<1.f-1)=2-01. 所以当xe[-1,1]时，f)axf(-1)=2-sin1 e