数列的通项公式与求和 课件-2024届高三数学二轮复习

通项公式与求和(重难点) 考点一 考点二 √ √ √ [解题必备] 1．数列的前n项和及其与通项的关系 (1)Sn＝a1＋a2＋…＋an； (2)an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.)) 2．由递推公式求数列通项的常用方法 (1)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法，即利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解． (2)形如an＋1＝an·f(n)，常用累乘法，即利用an＝a1· eq \f(a2,a1) · eq \f(a3,a2) ·…· eq \f(an,an－1) (n≥2，n∈N*)求解． (3)形如an＋1＝ban＋d(b≠1)，常用构造等比数列法． 对an＋1＝ban＋d变形得an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝ eq \f(d,b－1) )，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它可求出an. [典题研磨] [例1]　(1)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1)) 为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ eq \f(1,2×3n－1－1) C．{an}为递增数列 D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 的前n项和Tn＝3n－n－1 (2)数列{an}满足 eq \f(1,2) an＝an＋1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n＋1) ，且a1＝ eq \f(1,2) ，若an< eq \f(1,3) ，则n的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]　(1)因为an－3an＋1＝2anan＋1， 两边同除anan＋1， 可得 eq \f(1,an＋1) ＝ eq \f(3,an) ＋2， 所以 eq \f(1,an＋1) ＋1＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1)) ， 又 eq \f(1,a1) ＋1＝2≠0， 所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1)) 是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确； 所以 eq \f(1,an) ＋1＝2×3n－1， 即an＝ eq \f(1,2×3n－1－1) ， 所以{an}为递减数列，故B正确，C错误； 所以 eq \f(1,an) ＝2×3n－1－1， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 的前n项和为 Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1) ＝2×(30＋31＋…＋3n－1)－n ＝2× eq \f(1－3n,1－3) －n＝3n－n－1，故D正确． (2)数列{an}满足 eq \f(1,2) an＝an＋1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n＋1) ， 即an＋1－ eq \f(1,2) an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n＋1) ，两边同时除以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n＋1) 可得 eq \f(an＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n＋1)) － eq \f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)) ＝1，a1＝ eq \f(1,2) ， 数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)))) 是等差数列，其首项为1，公差为1， 所以 eq \f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)) ＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n) . 令an< eq \f(1,3) ，即n· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n) < eq \f(