等差数列与等比数列 课件-2024届高三数学二轮复习

等差数列与等比数列(重点) 考点一 √ √ √ √ √ 考点二 √ √ 考点三 [解题必备] 1．通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1qn－1(q≠0). 2．求和公式 等差数列：Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) ＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d； 等比数列：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ eq \f(a1（1－qn）,1－q) ＝ eq \f(a1－anq,1－q) . [题组通关] 1．(2023·四川省第三次联考)已知等比数列{an}的前3项和为42，a1－a4＝21，则a5＝(　　) A．12 B．6 C．3 D． eq \f(3,2) D　[设{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝42，　① a1－a4＝a1(1－q3)＝21，　② eq \f(②,①) 得 eq \f(1－q3,1＋q＋q2) ＝ eq \f(（1－q）（1＋q＋q2）,1＋q＋q2) ＝1－q＝ eq \f(1,2) ， 所以q＝ eq \f(1,2) ，将q＝ eq \f(1,2) 代入②，得a1＝ eq \f(21,1－\f(1,8)) ＝24，于是a5＝a1q4＝24× eq \f(1,16) ＝ eq \f(3,2) .] 2．已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．n(n－2) B．n(n－1) C．n(n＋1) D．n(n＋2) B　[因为数列{an}是公差为2的等差数列，且a2，a3，a5成等比数列，所以a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ＝a2a5，即(a1＋4)2＝(a1＋2)·(a1＋8)，解得a1＝0，所以an＝2n－2.则数列{an}的前n项和Sn＝ eq \f(（a1＋an）n,2) ＝ eq \f(（2n－2）n,2) ＝n(n－1).故选B.] 3．(多选)已知正项等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 中，a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　 ) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1<an＋2 ABD　[因为a5－2a3＝a4，所以a1q4－2a1q2＝a1q3，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，所以q＝2，所以A正确； 数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，所以B正确； S10＝ eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－210)),1－2) ＝211－2＝2 046，所以C不正确； 由an＝2n，得an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3·2n，an＋2＝2n＋2＝4·2n， 所以an＋an＋1<an＋2，所以D正确．故选ABD.] 4．(2023·甘肃省第一次高考诊断)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝2，S5＝5，等比数列{bn}中，b2＝4，b5＝32. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a6＝a1＋5d＝2,S5＝5a1＋10d＝5)) ，解得a1＝d＝ eq \f(1,3) ， 所以an＝ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,3) (n－1)＝ eq \f(n,3) . 设等比数列{bn}的公比为q，则q3＝ eq \f(b5,b2) ＝8，q＝2，则b1＝ eq \f(b2,q) ＝2，所以bn＝2n. (2)由(1)得，cn＝an＋bn＝ eq \f(n,3) ＋2n， 所以Tn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋2)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋22)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,3)＋23)) ＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)＋2n)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(2,3)＋\f(3,3)＋…＋\f(n,3))) ＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝ eq \f(1,6) n(n＋1)＋2n＋1－2. 等差(比)数列项与和的运算策略 (1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本