立体几何初步章末复习课 导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版必修二 立体几何初步章末复习课 导学案 考点一　空间几何体的表面积与体积 1．几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用． 2．通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养． 例1　 (1)如图，等边三角形△ABC的边长为4，D，E，F分别为AB，BC和AC的中点，将△BDE、△CEF、△ADF分别沿DE、EF和DF折起，使A、B、C三点重合，则折叠后的四面体的体积为(　　) A． B． C． D． (2)正三棱台高为1，上下底边长分别为3和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 跟踪训练1　(1)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 (2)一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积是________． 考点二　空间中的平行关系 1．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律． 2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的直观想象和逻辑推理素养． 例2　如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝PA＝AD.现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点，点N是BC的中点． (1)求证：MN∥平面PAB. (2)在图乙中，过直线MN作一平面，与平面PAB平行，且分别交PC、AD于点E、F，注明E、F的位置，并证明． 跟踪训练2　 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 考点三　空间中的垂直关系 1．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直． 2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直观想象和逻辑推理素养． 例3　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.点O是线段AM的中点． (1)求证：平面BDO⊥平面ABCM； (2)求证：AD⊥BM. 跟踪训练3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD，BC1，DC1分别为三条面对角线，A1C为一条体对角线．求证： (1)A1C⊥BD； (2)A1C⊥平面DBC1. 考点四　空间角 1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角． 2．通过对空间角的考查，提升学生数学抽象和数学运算素养． 例4　如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C＝O，求： (1)AO与A′C′所成的角的大小； (2)AO与平面ABCD所成的角的正切值； (3)二面角B-AO-C的大小． 跟踪训练4　(1)(多选)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．如图，在阳马S-ABCD中，底面是边长为1的正方形，SA＝，侧棱SA垂直于底面ABCD，则(　　) A．直线SC与AB所成的角为60° B．直线SC与BD所成的角为60° C．直线SC与平面ABCD所成的角为30° D．直线SC与平面SAB所成的角为30° (2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且