2024年辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题（课件）

微专题　二次函数与矩形、菱形、正方形问题 微技能——分类讨论思想确定对应关系 一阶 一题多设问 设问突破 二阶 例1 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交直线BC于点E. 例1题图① (1)求抛物线的解析式； 例1题图① (1)将A(1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c中， 得 解得 ∴抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5 ； (2)如图②，设点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维教练】要求使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形的点M的坐标，已知点M是抛物线对称轴上一点，设点M的坐标，分别求出BC，BM，CM的长，然后根据矩形的性质分别讨论∠CBM，∠BCM，∠CMB为直角的情况，利用勾股定理列方程求解． 例1题图② M N (2)存在． 易得抛物线对称轴为直线x＝3， ∵点M是对称轴上一点，设点M的坐标为(3，m), 易得BC2＝52＋52＝50，BM2＝(5－3)2＋m2＝4＋m2， ①如解图①，连接CM，CM2＝32＋(m＋5)2＝m2＋10m＋34, 例1题解图① 若∠CBM＝90°， 则BC2＋BM2＝CM2, 即50＋4＋m2＝m2＋10m＋34, 解得m＝2, 此时点M的坐标为(3，2); M N ②如解图②， 若∠BCM＝90°. 则BC2＋CM2＝BM2, 即50＋m2＋10m＋34＝4＋m2, 解得m＝－8, 此时点M的坐标为(3，－8); M N 例1题解图② ③如解图③④，若∠BMC＝90°. 则BM2＋CM2＝BC2, 即4＋m2＋m2＋10m＋34＝50, 解得m＝1或m＝－6， 此时点M的坐标为(3，1)或(3，－6). 综上所述，满足条件的点M坐标为(3，2)或(3，－8)或(3，1)或(3，－6)； M M N N 例1题解图③ 例1题解图④ (3)如图③，点Q是平面直角坐标系内一点，当以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形时，请求出此时点Q的坐标． 例1题图③ 例1题图③ 【思维教练】设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5)，则点E的坐标为(x，x－5)，共分为四种情况讨论：①当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形；②当点P在x轴上方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形；③当点P与点A重合，且PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形；④当点P在x轴下方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形． 例1题图③ (3)设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5) 设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)； 将B(5，0)，C(0，5)代入得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－5，则点E的坐标为(x，x－5)， 例1题解图⑤ 如解图⑤ ∵PE⊥QB， ∴当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形． 此时yP＝－yE，即－x2＋6x－5＝－(x－5)， 解得x1＝2，x2＝5(不合题意，舍去)， ∴QH＝HB＝3， ∴点Q的坐标为(－1，0)； 例1题解图⑥ 如解图⑥，当点P在x轴上方， 且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形． ∵PE＝－x2＋6x－5－(x－5)＝－x2＋5x，BE＝ BH＝ (5－x)， ∴－x2＋5x＝ (5－x)， 解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝ . 当x＝ 时，BQ＝PE＝ ， ∴点Q的坐标为(5， )； 例1题解图⑦ 如解图⑦，当点P与点A重合时，PB＝PE. ∴当PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形． 易得Q的坐标为(5，－4)； 例1题解图⑧ 如解图⑧，当点P在x轴下方， 且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形． ∵PE＝x－5－(－x2＋6x－5)＝x2－5x， BE＝ BH＝ (5－x)， ∴x2－5x＝ (5－x)， 解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝－ . 当x＝－ 时，QB＝PE＝ ， ∴点Q的坐标为(5， )． 综上所述，存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形．此时点Q的坐标为(－1，0)，(5， )，(5，－4)或(5，