28.2.2 解直角三角形应用举例 课件 2023—-2024学年人教版数学九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 28.2.2 解直角三角形的应用举例 28.2 解直角三角形及其应用 1.正确理解方向角、坡度的概念； 2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；(重点) 3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如 ：航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.(难点) 学习目标 情境引入 公园里，小明和小丽开心地玩跷跷板，当小丽用力将4 m长的跷跷板的一端压下并碰到地面,此时另一端离地面1.5m.你能求出此时跷跷板与地面的夹角吗？ 4m 1.5m A B C ? 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据： (2)两锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90º； (3)边角之间的关系: (必有一边) 复习引入 （一）仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 学习新知 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 典例精析 ∴△FOQ是直角三角形. 典例精析 解：设∠POQ=α ， ∵FQ是☉O的切线， ∴ α≈18.36°. 归纳总结 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1.将实际问题抽象为数学问题； 2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 例2: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°. 典例精析 在Rt△ABC 中，α=30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． 解：如图，α= 30°, β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m 典例精析 1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距离BC长40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. 解：在等腰△BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 ∴ AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m. ∴ AC=DC×tan∠ADC 练一练 2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）（cos50°≈0.64）. 练一练 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向） （二）方位角 目标方向线 解决方位角应注意的问题： （1）方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，因此方向角通常都写成“北偏……”, “南偏……”的形式. （3）观测点不同，所得的方向角也不同， 但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换. （2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正东或正西方向线构造直角三角形； 例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 ≈72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34° 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里． 典例精析 海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 12 练一练 B A D F 解：过点A作BD的垂线，交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理 在Rt△ABF中， 解得x=6 ∵10.4 > 8 ∴没有触礁危险 60° （三）坡度 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字