2024年辽宁省中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与等腰三角形问题（课件）

例1题图 微技能——分类讨论思想确定动点位置 一阶 一题多设问 例1 已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.连接AC. 微专题:二次函数与等腰三角形问题 探究1:在抛物线对称轴上找一点P使得 ACP为等腰三角形. (1)若AC为等腰三角形的底边时,AP=PC;在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹); 例1题解图① 解:探究1:(1)满足条件的点P如解图①所示. (2)若AC为等腰三角形的腰时,AC=_或AC=_;在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹); PC AP (2)满足条件的点P如解图②、③所示. 例1题解图② 例1题解图③ 探究2:在抛物线上找一点E使得 BCE为等腰三角形.在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹). 例1题图④ 探究2:满足条件的点E如解图④、⑤所示. 例1题图⑤ 【作图依据】_ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 【方法总结】等腰三角形的存在性一般要分情况讨论:常以已知边为_或_讨论;以探究1为例,已知边AC为底时,可以作已知边的_,所找点即为_的交点;若已知边AC为腰时,作图方法为:_,所找点即为_ 腰 底边 垂直平分线(中垂线) 垂直平分线和对称轴 圆与对称轴的交点. AC的长为半径画圆 分别以点A、C为圆心, 三点共线时,不能构成三角形,须忽略. 易错警示 【思考】若动点在y轴上、x轴上时,确定动点位置有什么不同呢? 一题多设问 二阶 一题多设问 例2 如图①,已知抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,顶点为M,对称轴与x轴交于点N. 例2题图① (1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标; ∴抛物线的表达式为y=- x2+ x+2 ∴抛物线的对称轴为直线x= = 当x=1时,y= ∴顶点M的坐标为(1, ); 解:(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入抛物线y=- x2+bx+c中, 得 解得 例2题图① 例2题图② (2)如图②,点P是抛物线上一点,当 PCO是以OC为底边的等腰三角形时,请直接写出点P的横坐标; 【思维教练】由于点P在抛物线上, PCO是以OC为底边的等腰三角形,所以点P在OC的垂直平分线与抛物线的交点上. 例2题图② 令x=0,则y=2,∴C(0,2),∴OC=2, ∵ COP是以CO为底的等腰三角形, ∴CD=DO=1, ∴点P,P′的纵坐标为1, 当y=1时,- x2+ x+2=1, P P′ D 【解法提示】如解图①,作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′,交CO于点D.连接CP、OP,OP′,CP′, POC和 P′CO是以OC为底的等腰三角形. 解得x=1+ 或x=1- . ∴点P的横坐标为1+ , 点P′的横坐标为1- . 即存在点P使 PCO是以OC为底边的等腰三角形,点P的横坐标为 1+ 或1- . (2)点P的横坐标为1+ 或1- 例2题图② P P′ D 例2题图③ (3)如图③,点E是x轴上一点,当 ACE是等腰三角形时,请直接写出点E的坐标; 【思维教练】由于 ACE是等腰三角形,可分AC为底边,AC为腰两种情况分类讨论. 【解法提示】∵点E在x轴上, ∴设点E的坐标为(m,0).由(1)易得点C的坐标为(0,2), ∴AC= , ∵ ACE是等腰三角形, ①当AE=AC时, .当点E在点A的右侧时, ∵AE=AC= , 则EO= -1, 例2题图③ ∴E的横坐标为 -1; ∴E( -1,0); .当点E在点A的左侧时, ∵AE=AC= ,则EO= +1, ∴点E的横坐标是- -1; ∴E(- -1,0); ②当AC=CE时,∵CO⊥AE, ∴点E在AO的延长线上,且AO=EO, ∴点E的横坐标为1;∴E(1,0); 例2题图③ ③当AC为底时,则AE=CE时,则点E为AC的垂直平分线与x轴的交点. ∵AE=1+m,OE=m, ∴AE2=(1+m)2. ∵点C的坐标为(0,2), ∴OC=2. ∴CE2=m2+22. ∵CE=AE,∴22+m2=(1+m)2, 解得m= 例2题图③ ∴E( ,0), 综上所述,点E的坐标为( -1,0)或(- -1,0)或(1,0)或 ( ,0). (3)点E的坐标为( -1,0)或(- -1,0)或(1,0)或( ,0); 例2题图③ 例2题图④ (4)如图④,对称轴MN上一点是否存在点G,使得 CGB是等腰三角形,若存在,请直接写出点G的纵坐标;若不存在,请说明理由; 【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底,故要分类讨论:①CG=CB,②CG=BG,③BG=BC求解即可. 【解法提示】∵点G在对称轴上,∴设点G的坐标为(1,m), ∵点C(0,2),B(3,0), ∴BC2=22