8.1成对数据的统计相关性题型讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8．1成对数据的统计相关性 基础知识 1．相关关系与确定关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 比如正方形面积与边长，高一定时圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系； 体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系． 2．正相关与负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 从散点图来看，点从左下角往右上角走． 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关； 从散点图来看，点从左上角往右下角走． 3．线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4．样本相关系数 对于变量和，经随机抽样得，其均值分别为和，则 我们称为变量和变量的样本相关系数，且． 特别地， ① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关． ② 越接近于，两个变量的线性相关性越强；接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系． ③ 样本相关系数也可变形为 题型专练 【题型一　相关关系的判断】 【例1】下面哪两个变量间是相关关系(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．铁块的大小与质量 【变式1-1】给出下列关系：其中具有相关关系的是（ ） ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积． A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①③ 【变式1-2】下列两变量具有相关关系的是（ ） A．正方体的体积与边长 B．人的身高与体重 C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D．球的半径与体积 【题型二　正相关与负相关】 【例2】有以下五组变量： ①某商品的销售价格与销售量； ②学生的学籍号与学生的数学成绩； ③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数； ④气温与冷饮销售量； ⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．其中两个变量成正相关的是(　　) A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 【变式2-1】下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是(　　) A． B． C． D． 【变式2-2】下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定（ ） A．x与y正相关，u与v正相关 B．x与y正相关，u与v负相关 C．x与y负相关，u与v正相关 D．x与y负相关，u与v负相关 【变式2-4】如下四幅散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型三　样本相关系数】 【例3】甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并求得相关系数如下表： 甲 乙 丙 丁 -0．78 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3-1】对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数；对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（ ） A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强 C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强 【变式3-2】（预习）具有线性相关关系的一组数据，，…，则（ ） A．相关系数越接近1，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 【变式3-3】某专营店统计了近五年创收利润（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 2．4 2．7 4．1 6．4 7．9 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，即可用线性回归模型拟合） （2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方