2024年九年级数学中考复习《猜想-探究-拓展-应用型综合压轴题》专题突破训练

2024年春九年级数学中考复习《猜想-探究-拓展-应用型综合压轴题》 专题突破训练（附答案） 1．在和中，点在上，，，，，连接． (1)特例发现：如图1，当时．求证：． (2)探究证明：如图2，当时．判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，，求的长． 2．【性质探究】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）直接写出BF与OG的数量关系． 【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值． 【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出的值． 3．【阅读材料】 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得“三垂直模型”．如图①，在中，，，分别过A、B向经过点C的直线作垂线，垂足分别为D、E，易证：．（无需证明） (1)【问题探究】如果，其他条件不变，如图②，求证：． (2)【学以致用】如图③，在平面直角坐标系中，，点，点B在第二象限，，求AB所在直线的函数表达式． (3)【拓展应用】如图④，在矩形ABCD中，，，点E为边BC上一个动点，连结AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连结PC、PD．当为直角三角形时，直接写出BE的长． 4．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题： 如图1，在中，，． 【基础巩固】 （1）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°得到（如图2），连结OC．求证：． 【思考探究】 （2）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°并缩小得到（如图3），使，连结OC，AD． ①求证： ②用等式表示AD与AB之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）将图1中绕点B按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到（如图4），使，连结OC，AC，AD．当时，求的值． 5．（1）【探究发现】如图1，已知点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB延长线上一点，作OF⊥OE交BA延长线于F点. 小明探究发现，△EOF是等腰直角三角形. 请证明这个结论． （2）【模型应用】如图2，在（1）的结论下，延长DB、FE交于点P，若BC=6，BE=2，求BP的长. （3）【拓展提升】如图3，若点G是正方形ABCD对角线BD上一点，DG=2BG，BC=6，点E在CB的延长线上运动时，连接EG，作FG⊥EG交直线AB于F点，设BE= x，记△EGF与正方形ABCD的重合面积为S，请直接写出S关于x的关系式． 6．综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 7．在四边形中，与互相垂直且平分． (1)【推理探究】如图1，已知，点是线段上任意一点，交于点，垂足为点，求证：． (2)【类比应用】如图2，已知，点在的延长线上，且，交的延长线于点，，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，已知，点是的三等分点，交直线于点，垂足为点，，求的值． 8．问题背景：如图1，在等边中，点为边上一个动点（点不与，重合），连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．探究、、之间的数量关系．小明同学的探究思路是：过点作，交边于点（如图2），易证是等边三角形，并且，所以，从而． (1)结论应用： ①在图1中，若，，则______cm； ②在图1中，若，点为的中点，则的最小值为______cm； (2)类比探究：如图3，若点为等边边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．若，，求的长． (3)拓展延伸：如图4，是等腰直角三角形，，，点为边上一个动点（点不与、重合），连接，把绕点顺时针旋转90°到，连接．直接写出、、之间的数量关系． 9．数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断