精品解析：湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟数学试卷

数学 命题人：徐凡训 彭如倩 李玲 吴瑶审 题人：徐凡训 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则是（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程有实根b，且，则复数z等于（ ） A. B. C. D. 4. 出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ） A. B. C. D. 5. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数的前项的“均倒数”为，又，则 A. B. C. D. 6. 设平面向量，若，则平面向量可能是（ ） A. B. C. D. 7 过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 15 8. 若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位 B 已知随机变量，若，则 C. 两组样本数据和.若已知且，则 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则__________. 13. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ② ③在上单调递增 所有正确结论的序号是______. 14. 如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商场为了吸引客流，举办了免费答题兑积分活动，获得积分可抵现金使用．活动规则如下：每人每天只能参加一轮游戏，每轮游戏有三个判断题，顾客都不知道答案，只能随机猜答案．每轮答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，积分可累计使用． （1）求某顾客每轮游戏得分的分布列和期望； （2）若某天有10个人参加答题活动，则这10个人的积分之和大于30分的概率是多少? 16. 如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且． （1）求的标准方程． （2）若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明： （ⅰ）的斜率之积为定值； （ⅱ）存在定点，使得关于点对称． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）时； （ⅰ）若，求的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 已知为非零常数，，若对，则称数列为数列． （1）证明：数列是递增数列，但不是等比数列； （2）设，若为数列，证明：； （3）若为数列，证明：，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 命题人：徐凡训 彭如倩 李玲 吴瑶审 题人：徐凡训 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．