精品解析：江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期第一次调研考试数学试卷

江苏省常州高级中学 2023～2024学年第二学期高二年级第一次调研考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数，若，则 C. 已知函数在上可导，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 2. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A B. C. 或 D. 5. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，，是函数的极值点，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的周期为2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. （多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A. 有两个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有两个极小值 D. 为的极小值 10. 若函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有3个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 11. 已知函数是自然对数底数，则（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若关于的不等式有正整数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是______. 13. 若函数，则使得成立的的取值范围是______. 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的值域. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 17. 已知函数在区间内恰有一个极值点，其中为自然对数的底数. （1）求实数取值范围； （2）证明：区间内有唯一零点. 18. 已知函数（其中实数为常数）. （1）若不存在极值点，求实数的取值范围； （2）若存在两个极值点，且，求的取值范围. 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． （1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； （2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省常州高级中学 2023～2024学年第二学期高二年级第一次调研考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数，若，则 C. 已知函数在上可导，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义可判断AB的正误，根据导数的四则运算可判断D的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，若，则即，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故，故，故D正确. 故选：D. 2. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象. 【详解】因为，所以， 当时，，单调递减， 当时，令，得，令得， 所以在单调递减，在单调递增，当时，有最小值1， 只有选项B图象符合. 故选：B 3. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设,则,根据条件可得在上单调递减，不等式可化为，根据的单调性可得答案. 【详解】设，则 由条件，所以，所以在上单调递减. 由，得 不等式，即，也即是，解得 所以不等式的解集为