重难点10 圆锥曲线中的二级结论及其应用（焦点三角形、垂径定理、第三定义、焦点弦）-2024年高考数学重难点突破

2024 高考数学重难点 重难点10 圆锥曲线中的二级结论及其应用 重难点10 圆锥曲线中的二级结论及其应用 （1）椭圆中的焦点三角形公式 设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． （2）双曲线中焦点三角形的面积：（为焦距对应的张角） 例1（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【对点练1】（2024西安市高三联考）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【对点练2】（2024贵州省安顺市部分学校高三二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 例2（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（一））已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． （Ⅰ）设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②e＝. （Ⅱ）设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②e＝. 例3．（2024四川省成都市成实外教育集团高三联考）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 例4.（2024·山东淄博·一模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1、 椭圆中垂径定理 已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 2. 双曲线中的垂径定理 已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 例．（2024四川泸州阶段练习）已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 推论：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 下面证明结论在椭圆中成立： 证明（点差法）：设，，， ，， ∵P，A在椭圆上，代入坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 例．（23-24高三上·贵州·开学考试）设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【对点练1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【对点练2】9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【对点练3】（23-24高三上·山东·开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 1、性质一 ①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 2、性质二 ①双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 设，， ，又点在曲线上，所以 ，，即 例．（2024吉林长春模拟）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（    ） A． B． C． D． 【对点练】（2024山东联考）过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则    (1) (2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角)