2024年九年级中考数学一轮复习课件 第13节　二次函数的应用

第13节　二次函数的应用 二次函数的应用 1.最值问题 在日常生活中,经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大利润、怎样最节省开支等问题,利用二次函数的图象和性质,便可以解决这类问题,需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题.解决该类问题的一般步骤如下: (1)找:找出题目中的等量关系; (2)列:列出二次函数表达式; (3)求:利用配方法将表达式化为顶点式或利用公式法确定最值. 2.抛物线型问题 在实际生活中常遇到以下抛物线型问题:拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等,对此类问题要正确地建立模型,选择合理的位置建立平面直角坐标系,用待定系数法确定函数的表达式,进而解决问题. 抛物线型实际问题 命题角度1:抛物线型建筑问题 [典例1] (2023西安校级模拟)如图所示是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.水面上升1.5 m,水面宽度为( ) B 命题角度2:抛物线型运动问题 10 根据题目中的函数表达式和图象可知,OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值,然后当y=0时求出相应的x的 值,即可得到OA的长. 抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题 (1)解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题. (2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的表达式形式最简. (3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误;②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限,造成符号错误. [变式1] (2023丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是( ) A.5 B.10 C.1 D.2 D 利用二次函数的性质解决最优问题 [典例3] (2023南充)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2. (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围. (1)根据“利润=(售价-成本)×产销数量-专利费”即可列出关系式,注意取值范围. 解:(1)根据题意,得w1=(8-m)x-30(0≤x≤500). w2=(20-12)x-(80+0.01x2) =-0.01x2+8x-80(0≤x≤300). (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示) (2)根据表达式系数a确定增减性,再结合x的取值范围选择合适的值得出最大值. 解:(2)∵8-m>0,∴w1随x的增大而增大. 又0≤x≤500,∴当x=500时,w1有最大值,即w1最大=-500m+3 970. ∵w2=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1 520, ∴-0.01<0,对称轴为直线x=400,∴当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大, ∴当x=300时,w2最大=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420. (3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由. [利润=(售价-成本)×产销数量-专利费] (3)分类讨论什么情况下A,B利润一样,什么情况下A利润大于B利润以及什么情况下A利润小于B利润即可得出结论. 解:(3)①若w1最大=w2最大,即-500m+3 970=1 420,解得m=5.1; ②若w1最大>w2最大,即-500m+3 970>1 420,解得m<5.1; ③若w1最大<w2最大,即-500m+3 970<1 420,解得m>5.1. 又4≤m≤6,∴综上所述,为获得最大日利润: 当m=5.1时,选择A,B产品产销均可; 当4≤m<5.1时,选择A产品产销; 当5.1<m≤6时,选择B产品产销. [变式2] (2023资阳模拟)某超市购进一批拼装玩具,进价为每个10元,在销售过程中发现,日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系,则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 　 　 元(利润=总销售额-总成本).  800 [变式3]